Trigonometrie Beispiele

$\csc (\frac{11 π}{8})$

Schritt 1

Schreibe $\frac{11 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\csc (\frac{\frac{11 π}{4}}{2})$

Schritt 2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (\frac{\frac{11 π}{4}}{2})$ an.

$\frac{1}{\sin (\frac{\frac{11 π}{4}}{2})}$

Schritt 3

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{11 π}{4})}{2}}}$

Schritt 4

Change the $\pm$ to $-$ because cosecant is negative in the third quadrant.

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{11 π}{4})}{2}}}$

Schritt 5

Vereinfache $\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{11 π}{4})}{2}}}$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{11 π}{4})}{2}}}$

Schritt 5.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{11 π}{4})}{2}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}}$

Schritt 5.2.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{2}}}$

Schritt 5.2.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Schritt 5.2.4

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Schritt 5.2.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Schritt 5.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}$

Schritt 5.3.3

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$- \frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Schritt 5.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}$

Schritt 5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}})$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$ mit $1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

Dezimalform:

$- 1.08239220 \dots$