Trigonometrie Beispiele

$\csc (- \frac{π}{12})$

Schritt 1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\csc (\frac{23 π}{12})$

Schritt 2

Der genau Wert von $\csc (\frac{23 π}{12})$ ist $- \sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosekans im vierten Quadranten negativ ist.

$- \csc (\frac{π}{12})$

Schritt 2.2

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$- \csc (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Schritt 2.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$- \frac{\sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6}) \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\sec (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) - \csc (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \sec (\frac{π}{6}) \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\sec (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) - \csc (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{6})$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\sec (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) - \csc (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Schritt 2.6

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{4})$ ist $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \csc (\frac{π}{6})}{\sec (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) - \csc (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Schritt 2.7

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{6})$ ist $2$ .

$- \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sec (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) - \csc (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Schritt 2.8

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\frac{2}{\sqrt{2}} \csc (\frac{π}{6}) - \csc (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Schritt 2.9

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{6})$ ist $2$ .

$- \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 - \csc (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Schritt 2.10

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{4})$ ist $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \sec (\frac{π}{6})}$

Schritt 2.11

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{6})$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.12

Vereinfache $- \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$ .

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Schritt 2.12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.12.1.2

Kombiniere $\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}$ und $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}} \cdot 2}{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.12.1.3

Kombiniere $\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}$ und $2$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.12.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.12.2.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.12.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.12.2.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.12.2.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.12.2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.12.2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.12.2.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.12.2.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.12.2.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.12.2.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.12.2.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.12.2.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.12.2.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.12.2.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.12.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.12.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.12.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.12.2.4

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}$

Schritt 2.12.2.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.12.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}$

Schritt 2.12.2.5.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}$

Schritt 2.12.2.5.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}$

Schritt 2.12.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}$

Schritt 2.12.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}$

Schritt 2.12.2.5.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.12.2.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Schritt 2.12.2.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Schritt 2.12.2.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 2.12.2.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.12.2.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 2.12.2.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}}$

Schritt 2.12.2.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 2.12.2.6

Multipliziere $- \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 2.12.2.6.1

Kombiniere $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ und $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{2}}{3}}$

Schritt 2.12.2.6.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2 \cdot 3}}{3}}$

Schritt 2.12.2.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.2.7

Um $2 \sqrt{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.2.8

Kombiniere $2 \sqrt{2}$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} - \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2} \cdot 3 - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\frac{4 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.12.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.5.1

Vereinige $\sqrt{2}$ und $\sqrt{6}$ zu einer einzigen Wurzel.

$- \frac{8 \sqrt{\frac{2}{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 2.12.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{8 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.12.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{8 \sqrt{\frac{1}{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5.3

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$- \frac{8 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$- \frac{8 \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{8 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.12.5.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5.6.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5.6.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5.6.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.12.5.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.12.5.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.5.7

Kombiniere $8$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{8 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 2.12.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}})$

Schritt 2.12.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.12.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}})$

Schritt 2.12.7.2

Forme den Ausdruck um.

$- (8 \sqrt{3} \frac{1}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}})$

Schritt 2.12.8

Kombiniere $\frac{1}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$ und $8$ .

$- (\frac{8}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}} \sqrt{3})$

Schritt 2.12.9

Kombiniere $\frac{8}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$ und $\sqrt{3}$ .

$- \frac{8 \sqrt{3}}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$

Schritt 2.12.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}$ .

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Schritt 2.12.10.1

Faktorisiere $2$ aus $8 \sqrt{3}$ heraus.

$- \frac{2 (4 \sqrt{3})}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$

Schritt 2.12.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.12.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{2}$ heraus.

$- \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{6}}$

Schritt 2.12.10.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{6}$ heraus.

$- \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2}) + 2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 2.12.10.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 \sqrt{2}) + 2 (- \sqrt{6})$ heraus.

$- \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}$

Schritt 2.12.10.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}$

Schritt 2.12.10.2.5

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Schritt 2.12.11

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ mit $\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$- (\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}} \cdot \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}})$

Schritt 2.12.12

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ mit $\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}{(3 \sqrt{2} - \sqrt{6}) (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Schritt 2.12.13

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$- \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}{9 {\sqrt{2}}^{2} + 3 \sqrt{12} - 3 \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 2.12.14

Vereinfache.

$- \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}{12}$

Schritt 2.12.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 2.12.15.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})$ heraus.

$- \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6}))}{12}$

Schritt 2.12.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.12.15.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6}))}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.12.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6}))}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.12.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}{3}$

Schritt 2.12.16

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.12.17

Multipliziere $\sqrt{3} (3 \sqrt{2})$ .

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Schritt 2.12.17.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{3 \sqrt{3 \cdot 2} + \sqrt{3} \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.12.17.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.12.18

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{3 \cdot 6}}{3}$

Schritt 2.12.19

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.12.19.1

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$- \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{18}}{3}$

Schritt 2.12.19.2

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.12.19.2.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$- \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{9 (2)}}{3}$

Schritt 2.12.19.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{3^{2} \cdot 2}}{3}$

Schritt 2.12.19.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 2.12.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{2}$ und $3$ .

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Schritt 2.12.20.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{6}$ heraus.

$- \frac{3 (\sqrt{6}) + 3 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 2.12.20.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{2}$ heraus.

$- \frac{3 (\sqrt{6}) + 3 (\sqrt{2})}{3}$

Schritt 2.12.20.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (\sqrt{6}) + 3 (\sqrt{2})$ heraus.

$- \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{3}$

Schritt 2.12.20.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.12.20.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{3 (1)}$

Schritt 2.12.20.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{3 \cdot 1}$

Schritt 2.12.20.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{1}$

Schritt 2.12.20.4.4

Dividiere $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ durch $1$ .

$- (\sqrt{6} + \sqrt{2})$

Schritt 2.12.21

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Dezimalform:

$- 3.86370330 \dots$