Trigonometrie Beispiele

$\cos (75) - \cos (15)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\cos (75)$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.1.1

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\cos (30 + 45) - \cos (15)$

Schritt 1.1.2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45) - \cos (15)$

Schritt 1.1.3

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45) - \cos (15)$

Schritt 1.1.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45) - \cos (15)$

Schritt 1.1.5

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45) - \cos (15)$

Schritt 1.1.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (15)$

Schritt 1.1.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (15)$

Schritt 1.1.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (15)$

Schritt 1.1.7.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (15)$

Schritt 1.1.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (15)$

Schritt 1.1.7.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \cos (15)$

Schritt 1.1.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} - \cos (15)$

Schritt 1.1.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \cos (15)$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\cos (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.2.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \cos (45 - 30)$

Schritt 1.2.2

Separiere die Negation.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \cos (45 - (30))$

Schritt 1.2.3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30))$

Schritt 1.2.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30))$

Schritt 1.2.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30))$

Schritt 1.2.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Schritt 1.2.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.2.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.2.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.2.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.2.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.2.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.2.8.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

Schritt 1.2.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 2.3

Subtrahiere $\sqrt{6}$ von $\sqrt{6}$ .

$\frac{0 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 2.4

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $0$ .

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 2.5

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{4}$

Schritt 2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (2)}$

Schritt 2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$- 0.70710678 \dots$