Trigonometrie Beispiele

$\cos (105) \cos (75)$

Schritt 1

Der genau Wert von $\cos (105)$ ist $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \cos (75) \cos (75)$

Schritt 1.2

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$- \cos (30 + 45) \cos (75)$

Schritt 1.3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cos (75)$

Schritt 1.4

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cos (75)$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \cos (75)$

Schritt 1.6

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) \cos (75)$

Schritt 1.7

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Schritt 1.8

Vereinfache $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Schritt 1.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Schritt 1.8.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Schritt 1.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Schritt 1.8.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (75)$

Schritt 1.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (75)$

Schritt 1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (75)$

Schritt 2

Der genau Wert von $\cos (75)$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (30 + 45)$

Schritt 2.2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45))$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45))$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45))$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45))$

Schritt 2.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2.7.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Schritt 2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3

Multipliziere $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ mit $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.2

Potenziere $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.3

Potenziere $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1}}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Schritt 4

Schreibe ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ als $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ um.

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Schritt 5

Multipliziere $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$- \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 6.1.3

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$- \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 6.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 6.1.5

Multipliziere $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 6.1.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$- \frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- \frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 6.1.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 6.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 6.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 6.1.9

Multipliziere $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 6.1.9.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 6.1.10

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.10.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 6.1.10.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 6.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 6.1.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 6.1.13

Multipliziere $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 6.1.13.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 6.1.13.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 6.1.13.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{16}$

Schritt 6.1.13.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

Schritt 6.1.13.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Schritt 6.1.14

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.14.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Schritt 6.1.14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Schritt 6.1.14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Schritt 6.1.14.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.14.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Schritt 6.1.14.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{16}$

Schritt 6.1.14.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Schritt 6.2

Addiere $6$ und $2$ .

$- \frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 6.3

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von $- 2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 - 4 \sqrt{3}$ und $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- \frac{4 (2) - 4 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sqrt{3}$ heraus.

$- \frac{4 (2) + 4 (- \sqrt{3})}{16}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ heraus.

$- \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{16}$

Schritt 7.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$- \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Schritt 7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Schritt 7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Dezimalform:

$- 0.06698729 \dots$