Trigonometrie Beispiele

$\frac{- 3 + 4 i}{4 - 3 i}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{- 3 + 4 i}{4 - 3 i}$ mit der Konjugierten von $4 - 3 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\frac{- 3 + 4 i}{4 - 3 i} \cdot \frac{4 + 3 i}{4 + 3 i}$

Schritt 2

Multipliziere.

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Schritt 2.1

Kombinieren.

$\frac{(- 3 + 4 i) (4 + 3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $(- 3 + 4 i) (4 + 3 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 (4 + 3 i) + 4 i (4 + 3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Schritt 2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 \cdot 4 - 3 (3 i) + 4 i (4 + 3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 \cdot 4 - 3 (3 i) + 4 i \cdot 4 + 4 i (3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{- 12 - 3 (3 i) + 4 i \cdot 4 + 4 i (3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 4 i \cdot 4 + 4 i (3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 4 i (3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Schritt 2.2.2.1.4

Multipliziere $4 i (3 i)$ .

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Schritt 2.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 12 i i}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Schritt 2.2.2.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 12 (i^{1} i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Schritt 2.2.2.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 12 (i^{1} i^{1})}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Schritt 2.2.2.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 12 i^{1 + 1}}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Schritt 2.2.2.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 12 i^{2}}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Schritt 2.2.2.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 12 \cdot - 1}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Schritt 2.2.2.1.6

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i - 12}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $12$ von $- 12$ .

$\frac{- 24 - 9 i + 16 i}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Schritt 2.2.2.3

Addiere $- 9 i$ und $16 i$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere $(4 - 3 i) (4 + 3 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 24 + 7 i}{4 (4 + 3 i) - 3 i (4 + 3 i)}$

Schritt 2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 24 + 7 i}{4 \cdot 4 + 4 (3 i) - 3 i (4 + 3 i)}$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 24 + 7 i}{4 \cdot 4 + 4 (3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (3 i)}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 4 (3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (3 i)}$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (3 i)}$

Schritt 2.3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 12 i - 3 i (3 i)}$

Schritt 2.3.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 12 i - 9 i i}$

Schritt 2.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 12 i - 9 (i^{1} i)}$

Schritt 2.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 12 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Schritt 2.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 12 i - 9 i^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 12 i - 9 i^{2}}$

Schritt 2.3.2.9

Subtrahiere $12 i$ von $12 i$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 0 - 9 i^{2}}$

Schritt 2.3.2.10

Addiere $16$ und $0$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 - 9 i^{2}}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{- 24 + 7 i}{16 - 9 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 9}$

Schritt 2.3.4

Addiere $16$ und $9$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{25}$

Schritt 3

Zerlege den Bruch $\frac{- 24 + 7 i}{25}$ in zwei Brüche.

$\frac{- 24}{25} + \frac{7 i}{25}$

Schritt 4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{24}{25} + \frac{7 i}{25}$