Trigonometrie Beispiele

$2 y^{4} + 3 y^{3} - 42 y^{2} + 68 y - 24 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Gruppiere die Terme um.

$3 y^{3} - 24 + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{3} - 24$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{3}$ heraus.

$3 (y^{3}) - 24 + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 24$ heraus.

$3 y^{3} + 3 \cdot - 8 + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{3} + 3 \cdot - 8$ heraus.

$3 (y^{3} - 8) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$3 (y^{3} - 2^{3}) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Schritt 1.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = y$ und $b = 2$ .

$3 ((y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2})) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$3 ((y - 2) (y^{2} + 2 y + 2^{2})) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Schritt 1.5.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$3 ((y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Schritt 1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Schritt 1.6

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y$ heraus.

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Schritt 1.6.1

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y^{4}$ heraus.

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3}) - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Schritt 1.6.2

Faktorisiere $2 y$ aus $- 42 y^{2}$ heraus.

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3}) + 2 y (- 21 y) + 68 y = 0$

Schritt 1.6.3

Faktorisiere $2 y$ aus $68 y$ heraus.

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3}) + 2 y (- 21 y) + 2 y (34) = 0$

Schritt 1.6.4

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (y^{3}) + 2 y (- 21 y)$ heraus.

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3} - 21 y) + 2 y (34) = 0$

Schritt 1.6.5

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (y^{3} - 21 y) + 2 y (34)$ heraus.

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3} - 21 y + 34) = 0$

Schritt 1.7

Faktorisiere.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $y^{3} - 21 y + 34$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.7.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 34, \pm 2, \pm 17$

$q = \pm 1$

Schritt 1.7.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 34, \pm 2, \pm 17$

Schritt 1.7.1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.7.1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2^{3} - 21 \cdot 2 + 34$

Schritt 1.7.1.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 - 21 \cdot 2 + 34$

Schritt 1.7.1.3.3

Mutltipliziere $- 21$ mit $2$ .

$8 - 42 + 34$

Schritt 1.7.1.3.4

Subtrahiere $42$ von $8$ .

$- 34 + 34$

Schritt 1.7.1.3.5

Addiere $- 34$ und $34$ .

$0$

Schritt 1.7.1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $y - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{y^{3} - 21 y + 34}{y - 2}$

Schritt 1.7.1.5

Dividiere $y^{3} - 21 y + 34$ durch $y - 2$ .

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Schritt 1.7.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$2$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$21 y$

$34$

Schritt 1.7.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

					$y^{2}$
	$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$

Schritt 1.7.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			+	$y^{3}$	-	$2 y^{2}$

Schritt 1.7.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y^{3} - 2 y^{2}$

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$

Schritt 1.7.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$

Schritt 1.7.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$

Schritt 1.7.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 y^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$

Schritt 1.7.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					+	$2 y^{2}$	-	$4 y$

Schritt 1.7.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 y^{2} - 4 y$

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$

Schritt 1.7.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$

Schritt 1.7.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$

Schritt 1.7.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 17 y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$17$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$

Schritt 1.7.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$17$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$
							-	$17 y$	+	$34$

Schritt 1.7.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 17 y + 34$

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$17$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$
							+	$17 y$	-	$34$

Schritt 1.7.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$17$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$
							+	$17 y$	-	$34$
										$0$

Schritt 1.7.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$y^{2} + 2 y - 17$

Schritt 1.7.1.6

Schreibe $y^{3} - 21 y + 34$ als eine Menge von Faktoren.

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y ((y - 2) (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

Schritt 1.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y - 2) (y^{2} + 2 y - 17) = 0$

Schritt 1.8

Faktorisiere $y - 2$ aus $3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y - 2) (y^{2} + 2 y - 17)$ heraus.

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Schritt 1.8.1

Faktorisiere $y - 2$ aus $3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)$ heraus.

$(y - 2) (3 (y^{2} + 2 y + 4)) + 2 y (y - 2) (y^{2} + 2 y - 17) = 0$

Schritt 1.8.2

Faktorisiere $y - 2$ aus $2 y (y - 2) (y^{2} + 2 y - 17)$ heraus.

$(y - 2) (3 (y^{2} + 2 y + 4)) + (y - 2) (2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

Schritt 1.8.3

Faktorisiere $y - 2$ aus $(y - 2) (3 (y^{2} + 2 y + 4)) + (y - 2) (2 y (y^{2} + 2 y - 17))$ heraus.

$(y - 2) (3 (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

Schritt 1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$(y - 2) (3 y^{2} + 3 (2 y) + 3 \cdot 4 + 2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

Schritt 1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.10.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 3 \cdot 4 + 2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

Schritt 1.10.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

Schritt 1.11

Wende das Distributivgesetz an.

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y \cdot y^{2} + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

Schritt 1.12

Vereinfache.

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Schritt 1.12.1

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.12.1.1

Bewege $y^{2}$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 (y^{2} y) + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

Schritt 1.12.1.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 1.12.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 (y^{2} y) + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

Schritt 1.12.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{2 + 1} + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

Schritt 1.12.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

Schritt 1.12.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 \cdot (2 y \cdot y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

Schritt 1.12.3

Mutltipliziere $- 17$ mit $2$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 \cdot (2 y \cdot y) - 34 y) = 0$

Schritt 1.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.13.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.13.1.1

Bewege $y$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) - 34 y) = 0$

Schritt 1.13.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 \cdot (2 y^{2}) - 34 y) = 0$

Schritt 1.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 4 y^{2} - 34 y) = 0$

Schritt 1.14

Addiere $3 y^{2}$ und $4 y^{2}$ .

$(y - 2) (7 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} - 34 y) = 0$

Schritt 1.15

Subtrahiere $34 y$ von $6 y$ .

$(y - 2) (7 y^{2} - 28 y + 12 + 2 y^{3}) = 0$

Schritt 1.16

Stelle die Terme um.

$(y - 2) (2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12) = 0$

Schritt 1.17

Faktorisiere.

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Schritt 1.17.1

Schreibe $2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.17.1.1

Faktorisiere $2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.17.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 1.17.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Schritt 1.17.1.1.3

Setze $0.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.17.1.1.3.1

Setze $0.5$ in das Polynom ein.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 7 \cdot {0.5}^{2} - 28 \cdot 0.5 + 12$

Schritt 1.17.1.1.3.2

Potenziere $0.5$ mit $3$ .

$2 \cdot 0.125 + 7 \cdot {0.5}^{2} - 28 \cdot 0.5 + 12$

Schritt 1.17.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $0.125$ .

$0.25 + 7 \cdot {0.5}^{2} - 28 \cdot 0.5 + 12$

Schritt 1.17.1.1.3.4

Potenziere $0.5$ mit $2$ .

$0.25 + 7 \cdot 0.25 - 28 \cdot 0.5 + 12$

Schritt 1.17.1.1.3.5

Mutltipliziere $7$ mit $0.25$ .

$0.25 + 1.75 - 28 \cdot 0.5 + 12$

Schritt 1.17.1.1.3.6

Addiere $0.25$ und $1.75$ .

$2 - 28 \cdot 0.5 + 12$

Schritt 1.17.1.1.3.7

Mutltipliziere $- 28$ mit $0.5$ .

$2 - 14 + 12$

Schritt 1.17.1.1.3.8

Subtrahiere $14$ von $2$ .

$- 12 + 12$

Schritt 1.17.1.1.3.9

Addiere $- 12$ und $12$ .

$0$

Schritt 1.17.1.1.4

Da $0.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 y - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12}{2 y - 1}$

Schritt 1.17.1.1.5

Dividiere $2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12$ durch $2 y - 1$ .

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Schritt 1.17.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 y$

$1$

$2 y^{3}$

$7 y^{2}$

$28 y$

$12$

Schritt 1.17.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 y^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 y$ .

					$y^{2}$
	$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$

Schritt 1.17.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$y^{2}$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			+	$2 y^{3}$	-	$y^{2}$

Schritt 1.17.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 y^{3} - y^{2}$

				$y^{2}$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$

Schritt 1.17.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$y^{2}$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$

Schritt 1.17.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$y^{2}$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$

Schritt 1.17.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $8 y^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 y$ .

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$

Schritt 1.17.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					+	$8 y^{2}$	-	$4 y$

Schritt 1.17.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $8 y^{2} - 4 y$

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$

Schritt 1.17.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$

Schritt 1.17.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$

Schritt 1.17.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 24 y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 y$ .

				$y^{2}$	+	$4 y$	-	$12$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$

Schritt 1.17.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$y^{2}$	+	$4 y$	-	$12$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$
							-	$24 y$	+	$12$

Schritt 1.17.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 24 y + 12$

				$y^{2}$	+	$4 y$	-	$12$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$
							+	$24 y$	-	$12$

Schritt 1.17.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$y^{2}$	+	$4 y$	-	$12$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$
							+	$24 y$	-	$12$
										$0$

Schritt 1.17.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$y^{2} + 4 y - 12$

Schritt 1.17.1.1.6

Schreibe $2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12$ als eine Menge von Faktoren.

$(y - 2) ((2 y - 1) (y^{2} + 4 y - 12)) = 0$

Schritt 1.17.1.2

Faktorisiere $y^{2} + 4 y - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.17.1.2.1

Faktorisiere $y^{2} + 4 y - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.17.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $4$ ist.

$- 2, 6$

Schritt 1.17.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(y - 2) ((2 y - 1) ((y - 2) (y + 6))) = 0$

Schritt 1.17.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(y - 2) ((2 y - 1) (y - 2) (y + 6)) = 0$

Schritt 1.17.2

Entferne unnötige Klammern.

$(y - 2) (2 y - 1) (y - 2) (y + 6) = 0$

Schritt 1.18

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.18.1

Potenziere $y - 2$ mit $1$ .

$(y - 2) (y - 2) (2 y - 1) (y + 6) = 0$

Schritt 1.18.2

Potenziere $y - 2$ mit $1$ .

$(y - 2) (y - 2) (2 y - 1) (y + 6) = 0$

Schritt 1.18.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(y - 2)}^{1 + 1} (2 y - 1) (y + 6) = 0$

Schritt 1.18.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(y - 2)}^{2} (2 y - 1) (y + 6) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(y - 2)}^{2} = 0$

$2 y - 1 = 0$

$y + 6 = 0$

Schritt 3

Setze ${(y - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Setze ${(y - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(y - 2)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse ${(y - 2)}^{2} = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $y - 2$ gleich $0$ .

$y - 2 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2$

Schritt 4

Setze $2 y - 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2 y - 1$ gleich $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2 y - 1 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Schritt 5

Setze $y + 6$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $y + 6$ gleich $0$ .

$y + 6 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 6$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(y - 2)}^{2} (2 y - 1) (y + 6) = 0$ wahr machen.

$y = 2, \frac{1}{2}, - 6$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = 2, \frac{1}{2}, - 6$

Dezimalform:

$y = 2, 0.5, - 6$