Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sec (y)}{\tan (y) + \cot (y)} = \sin (y)$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $\tan (y) + \cot (y)$ .

$\frac{\sec (y)}{\tan (y) + \cot (y)} (\tan (y) + \cot (y)) = \sin (y) (\tan (y) + \cot (y))$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (y) + \cot (y)$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sec (y)}{\tan (y) + \cot (y)} (\tan (y) + \cot (y)) = \sin (y) (\tan (y) + \cot (y))$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (y) = \sin (y) (\tan (y) + \cot (y))$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $\sin (y) (\tan (y) + \cot (y))$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe $\tan (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sec (y) = \sin (y) (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \cot (y))$

Schritt 2.2.1.1.2

Schreibe $\cot (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sec (y) = \sin (y) (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)})$

Schritt 2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (y) = \sin (y) \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere $\sin (y) \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Kombiniere $\sin (y)$ und $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

$\sec (y) = \frac{\sin (y) \sin (y)}{\cos (y)} + \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Schritt 2.2.1.3.2

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\sec (y) = \frac{\sin^{1} (y) \sin (y)}{\cos (y)} + \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Schritt 2.2.1.3.3

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\sec (y) = \frac{\sin^{1} (y) \sin^{1} (y)}{\cos (y)} + \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Schritt 2.2.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (y) = \frac{{\sin (y)}^{1 + 1}}{\cos (y)} + \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Schritt 2.2.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (y) = \frac{\sin^{2} (y)}{\cos (y)} + \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Schritt 2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (y)$ .

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Schritt 2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (y) = \frac{\sin^{2} (y)}{\cos (y)} + \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Schritt 2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (y) = \frac{\sin^{2} (y)}{\cos (y)} + \cos (y)$

Schritt 2.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.5.1

Faktorisiere $\sin (y)$ aus $\sin^{2} (y)$ heraus.

$\sec (y) = \frac{\sin (y) \sin (y)}{\cos (y)} + \cos (y)$

Schritt 2.2.1.5.2

Separiere Brüche.

$\sec (y) = \frac{\sin (y)}{1} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \cos (y)$

Schritt 2.2.1.5.3

Wandle von $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ nach $\tan (y)$ um.

$\sec (y) = \frac{\sin (y)}{1} \tan (y) + \cos (y)$

Schritt 2.2.1.5.4

Dividiere $\sin (y)$ durch $1$ .

$\sec (y) = \sin (y) \tan (y) + \cos (y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $\sec (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (y)} = \sin (y) \tan (y) + \cos (y)$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe $\tan (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (y)} = \sin (y) \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \cos (y)$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere $\sin (y) \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Kombiniere $\sin (y)$ und $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{1}{\cos (y)} = \frac{\sin (y) \sin (y)}{\cos (y)} + \cos (y)$

Schritt 3.2.1.2.2

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos (y)} = \frac{\sin^{1} (y) \sin (y)}{\cos (y)} + \cos (y)$

Schritt 3.2.1.2.3

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos (y)} = \frac{\sin^{1} (y) \sin^{1} (y)}{\cos (y)} + \cos (y)$

Schritt 3.2.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\cos (y)} = \frac{{\sin (y)}^{1 + 1}}{\cos (y)} + \cos (y)$

Schritt 3.2.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\cos (y)} = \frac{\sin^{2} (y)}{\cos (y)} + \cos (y)$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (y)$ .

$\cos (y) \frac{1}{\cos (y)} = \cos (y) (\frac{\sin^{2} (y)}{\cos (y)} + \cos (y))$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (y)$ .

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (y) \frac{1}{\cos (y)} = \cos (y) (\frac{\sin^{2} (y)}{\cos (y)} + \cos (y))$

Schritt 3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \cos (y) (\frac{\sin^{2} (y)}{\cos (y)} + \cos (y))$

Schritt 3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = \cos (y) \frac{\sin^{2} (y)}{\cos (y)} + \cos (y) \cos (y)$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (y)$ .

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \cos (y) \frac{\sin^{2} (y)}{\cos (y)} + \cos (y) \cos (y)$

Schritt 3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \sin^{2} (y) + \cos (y) \cos (y)$

Schritt 3.7

Multipliziere $\cos (y) \cos (y)$ .

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Schritt 3.7.1

Potenziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$1 = \sin^{2} (y) + \cos^{1} (y) \cos (y)$

Schritt 3.7.2

Potenziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$1 = \sin^{2} (y) + \cos^{1} (y) \cos^{1} (y)$

Schritt 3.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 = \sin^{2} (y) + {\cos (y)}^{1 + 1}$

Schritt 3.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 = \sin^{2} (y) + \cos^{2} (y)$

Schritt 3.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 = 1$

Schritt 3.9

Da $1 = 1$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $y$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$