Trigonometrie Beispiele

$4 y^{2} - 10 x^{2} - 40 x - 8 y - 76 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 8$ und $c = - 10 x^{2} - 40 x - 76$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (- 10 x^{2} - 40 x - 76))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 4 \cdot (- 10 x^{2} - 40 x - 76)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16 \cdot (- 10 x^{2} - 40 x - 76)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16 (- 10 x^{2}) - 16 (- 40 x) - 16 \cdot - 76}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 16$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 160 x^{2} - 16 (- 40 x) - 16 \cdot - 76}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $- 40$ mit $- 16$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 160 x^{2} + 640 x - 16 \cdot - 76}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 76$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 160 x^{2} + 640 x + 1216}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.5

Addiere $64$ und $1216$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{160 x^{2} + 640 x + 1280}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $160$ aus $160 x^{2} + 640 x + 1280$ heraus.

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $160$ aus $160 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{160 (x^{2}) + 640 x + 1280}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.2

Faktorisiere $160$ aus $640 x$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{160 (x^{2}) + 160 (4 x) + 1280}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.3

Faktorisiere $160$ aus $1280$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{160 x^{2} + 160 (4 x) + 160 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.4

Faktorisiere $160$ aus $160 x^{2} + 160 (4 x)$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{160 (x^{2} + 4 x) + 160 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.5

Faktorisiere $160$ aus $160 (x^{2} + 4 x) + 160 \cdot 8$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{160 (x^{2} + 4 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $160 (x^{2} + 4 x + 8)$ als ${(2^{2})}^{2} \cdot (10 (x^{2} + 4 x + 8))$ um.

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Schritt 3.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $160$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{16 (10) (x^{2} + 4 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (10 (x^{2} + 4 x + 8))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.7.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (10 (x^{2} + 4 x + 8))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.7.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (10 (x^{2} + 4 x + 8))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{8 \pm 2^{2} \sqrt{10 (x^{2} + 4 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm 4 \sqrt{10 (x^{2} + 4 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{8 \pm 4 \sqrt{10 (x^{2} + 4 x + 8)}}{8}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 4 \sqrt{10 (x^{2} + 4 x + 8)}}{8}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{10 (x^{2} + 4 x + 8)}}{2}$

Schritt 4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{2 + \sqrt{10 (x^{2} + 4 x + 8)}}{2}$

$y = \frac{2 - \sqrt{10 (x^{2} + 4 x + 8)}}{2}$