Trigonometrie Beispiele

$z^{3} + 8 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z^{3} = - 8$

Schritt 2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z^{3} + 8 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$z^{3} + 2^{3} = 0$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = z$ und $b = 2$ .

$(z + 2) (z^{2} - z \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(z + 2) (z^{2} - 2 z + 2^{2}) = 0$

Schritt 3.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$z + 2 = 0$

$z^{2} - 2 z + 4 = 0$

Schritt 5

Setze $z + 2$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $z + 2$ gleich $0$ .

$z + 2 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = - 2$

Schritt 6

Setze $z^{2} - 2 z + 4$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $z^{2} - 2 z + 4$ gleich $0$ .

$z^{2} - 2 z + 4 = 0$

Schritt 6.2

Löse $z^{2} - 2 z + 4 = 0$ nach $z$ auf.

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Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $z$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$z = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$z = 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$z = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$ wahr machen.

$z = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$