Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (2 x) - 3 \sin (2 x) + 1 = 0$

Schritt 1

Ersetze $\sin (2 x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} - 3 u + 1 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 3$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6

Ersetze $u$ durch $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 7

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (2 x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 8

Löse in $\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 9

Löse in $\sin (2 x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$ .

$2 x = 0.39192267$

Schritt 9.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0.39192267$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0.39192267$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0.39192267}{2}$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0.39192267}{2}$

Schritt 9.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0.39192267}{2}$

Schritt 9.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.3.1

Dividiere $0.39192267$ durch $2$ .

$x = 0.19596133$

Schritt 9.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = (3.14159265) - 0.39192267$

Schritt 9.5

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1

Subtrahiere $0.39192267$ von $3.14159265$ .

$2 x = 2.74966997$

Schritt 9.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2.74966997$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2.74966997$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.74966997}{2}$

Schritt 9.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.74966997}{2}$

Schritt 9.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2.74966997}{2}$

Schritt 9.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.2.3.1

Dividiere $2.74966997$ durch $2$ .

$x = 1.37483498$

Schritt 9.6

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 9.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 9.6.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 9.7

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.19596133 + π n, 1.37483498 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.19596133 + π n, 1.37483498 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$