Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{\cos (x)}}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\cos (x)}$ als ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos^{1} (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$\cos (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ als $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ um.

$\cos (x) = (2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x) - 1) - 1 (2 \cos (x) - 1)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x) - 1)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.3.1.1

Multipliziere $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.3.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\cos (x) = 4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.1.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) = 4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) + 1$

Schritt 2.3.1.3.2

Subtrahiere $2 \cos (x)$ von $- 2 \cos (x)$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Subtrahiere $4 \cos^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) = - 4 \cos (x) + 1$

Schritt 3.1.2

Addiere $4 \cos (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) = 1$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $\cos (x)$ und $4 \cos (x)$ .

$5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\cos (x)$ .

$5 u - 4 u^{2} - 1 = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Stelle die Terme um.

$- 4 u^{2} + 5 u - 1 = 0$

Schritt 3.3.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 4 \cdot - 1 = 4$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 u$ heraus.

$- 4 u^{2} + 5 (u) - 1 = 0$

Schritt 3.3.2.2.2

Schreibe $5$ um als $1$ plus $4$

$- 4 u^{2} + (1 + 4) u - 1 = 0$

Schritt 3.3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 u^{2} + 1 u + 4 u - 1 = 0$

Schritt 3.3.2.2.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$- 4 u^{2} + u + 4 u - 1 = 0$

Schritt 3.3.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- 4 u^{2} + u) + 4 u - 1 = 0$

Schritt 3.3.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (- 4 u + 1) - (- 4 u + 1) = 0$

Schritt 3.3.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 4 u + 1$ .

$(- 4 u + 1) (u - 1) = 0$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 3.5

Setze $- 4 \cos (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Setze $- 4 \cos (x) + 1$ gleich $0$ .

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $- 4 \cos (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \cos (x) = - 1$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \cos (x) = - 1$ durch $- 4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \cos (x) = - 1$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

Schritt 3.5.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

Schritt 3.5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.4.1

Berechne $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

Schritt 3.5.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Schritt 3.5.2.6

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.6.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Schritt 3.5.2.6.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

Schritt 3.5.2.6.2.2

Subtrahiere $1.31811607$ von $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

Schritt 3.5.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.5.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.5.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.6

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $\cos (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = 1$

Schritt 3.6.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 3.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.6.2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 3.6.2.5

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 3.6.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.6.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.6.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.6.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.6.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Führe $2 π n$ und $2 π + 2 π n$ zu $2 π n$ zusammen.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$ nicht erfüllen.

$x = 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$