Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{3 x - 2} + \sqrt{11 + x} = - 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{11 + x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3 x - 2} = - 1 - \sqrt{11 + x}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 x - 2}}^{2} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x - 2}$ als ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 x - 2)}^{1} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$3 x - 2 = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$ als $(- 1 - \sqrt{11 + x}) (- 1 - \sqrt{11 + x})$ um.

$3 x - 2 = (- 1 - \sqrt{11 + x}) (- 1 - \sqrt{11 + x})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(- 1 - \sqrt{11 + x}) (- 1 - \sqrt{11 + x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x - 2 = - 1 (- 1 - \sqrt{11 + x}) - \sqrt{11 + x} (- 1 - \sqrt{11 + x})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x - 2 = - 1 \cdot - 1 - 1 (- \sqrt{11 + x}) - \sqrt{11 + x} (- 1 - \sqrt{11 + x})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x - 2 = - 1 \cdot - 1 - 1 (- \sqrt{11 + x}) - \sqrt{11 + x} \cdot - 1 - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 x - 2 = 1 - 1 (- \sqrt{11 + x}) - \sqrt{11 + x} \cdot - 1 - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Multipliziere $- 1 (- \sqrt{11 + x})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 x - 2 = 1 + 1 \sqrt{11 + x} - \sqrt{11 + x} \cdot - 1 - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $\sqrt{11 + x}$ mit $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} - \sqrt{11 + x} \cdot - 1 - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Multipliziere $- \sqrt{11 + x} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + 1 \sqrt{11 + x} - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Schritt 3.3.1.3.1.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{11 + x}$ mit $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + 1 \sqrt{11 + x} \sqrt{11 + x}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{11 + x}$ mit $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} \sqrt{11 + x}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{11 + x}$ mit $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {\sqrt{11 + x}}^{1} \sqrt{11 + x}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{11 + x}$ mit $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {\sqrt{11 + x}}^{1} {\sqrt{11 + x}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {\sqrt{11 + x}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {\sqrt{11 + x}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{11 + x}}^{2}$ als $11 + x$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11 + x}$ als ${(11 + x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {({(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {(11 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {(11 + x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {(11 + x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {(11 + x)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + 11 + x$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $1$ und $11$ .

$3 x - 2 = 12 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + x$

Schritt 3.3.1.3.3

Addiere $\sqrt{11 + x}$ und $\sqrt{11 + x}$ .

$3 x - 2 = 12 + 2 \sqrt{11 + x} + x$

Schritt 4

Löse nach $2 \sqrt{11 + x}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $12 + 2 \sqrt{11 + x} + x = 3 x - 2$ um.

$12 + 2 \sqrt{11 + x} + x = 3 x - 2$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $2 \sqrt{11 + x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{11 + x} + x = 3 x - 2 - 12$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{11 + x} = 3 x - 2 - 12 - x$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $x$ von $3 x$ .

$2 \sqrt{11 + x} = 2 x - 2 - 12$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $12$ von $- 2$ .

$2 \sqrt{11 + x} = 2 x - 14$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{11 + x})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11 + x}$ als ${(11 + x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(2 {(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(11 + x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(11 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(11 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(11 + x)}^{1} = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$4 (11 + x) = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 11 + 4 x = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $11$ .

$44 + 4 x = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(2 x - 14)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(2 x - 14)}^{2}$ als $(2 x - 14) (2 x - 14)$ um.

$44 + 4 x = (2 x - 14) (2 x - 14)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(2 x - 14) (2 x - 14)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$44 + 4 x = 2 x (2 x - 14) - 14 (2 x - 14)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$44 + 4 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x - 14)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$44 + 4 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$44 + 4 x = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$44 + 4 x = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Schritt 6.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$44 + 4 x = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 14$ mit $2$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} - 28 x - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Schritt 6.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 14$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} - 28 x - 28 x - 14 \cdot - 14$

Schritt 6.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 14$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} - 28 x - 28 x + 196$

Schritt 6.3.1.3.2

Subtrahiere $28 x$ von $- 28 x$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} - 56 x + 196$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 x^{2} - 56 x + 196 = 44 + 4 x$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 56 x + 196 - 4 x = 44$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 56 x$ .

$4 x^{2} - 60 x + 196 = 44$

Schritt 7.3

Subtrahiere $44$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 60 x + 196 - 44 = 0$

Schritt 7.4

Subtrahiere $44$ von $196$ .

$4 x^{2} - 60 x + 152 = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 60 x + 152$ heraus.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$4 (x^{2}) - 60 x + 152 = 0$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $4$ aus $- 60 x$ heraus.

$4 (x^{2}) + 4 (- 15 x) + 152 = 0$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere $4$ aus $152$ heraus.

$4 x^{2} + 4 (- 15 x) + 4 \cdot 38 = 0$

Schritt 7.5.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 (- 15 x)$ heraus.

$4 (x^{2} - 15 x) + 4 \cdot 38 = 0$

Schritt 7.5.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} - 15 x) + 4 \cdot 38$ heraus.

$4 (x^{2} - 15 x + 38) = 0$

Schritt 7.6

Teile jeden Ausdruck in $4 (x^{2} - 15 x + 38) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.6.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x^{2} - 15 x + 38) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 15 x + 38)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 7.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x^{2} - 15 x + 38)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 7.6.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 15 x + 38$ durch $1$ .

$x^{2} - 15 x + 38 = \frac{0}{4}$

Schritt 7.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.6.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x^{2} - 15 x + 38 = 0$

Schritt 7.7

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.8

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 15$ und $c = 38$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 38)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.9

Vereinfache.

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Schritt 7.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.9.1.1

Potenziere $- 15$ mit $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot 38}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 38$ .

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Schritt 7.9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 38}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $38$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 152}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.9.1.3

Subtrahiere $152$ von $225$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{73}}{2}$

Schritt 7.10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{15 + \sqrt{73}}{2}, \frac{15 - \sqrt{73}}{2}$

Schritt 8

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{3 x - 2} + \sqrt{11 + x} = - 1$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$