Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{3} \cdot \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 1

Ersetze die $\cos^{2} (x)$ durch $1 - \sin^{2} (x)$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$\sqrt{3} (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 3

Stelle das Polynom um.

$\sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) + \sqrt{3} = 0$

Schritt 4

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$\sqrt{3} (- {(u)}^{2}) - 2 u + \sqrt{3} = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = - \sqrt{3}$ , $b = - 2$ und $c = \sqrt{3}$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Schritt 7.1.3

Multipliziere $4 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Schritt 7.1.3.1

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

Schritt 7.1.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

Schritt 7.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Schritt 7.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Schritt 7.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Schritt 7.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Schritt 7.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Schritt 7.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Schritt 7.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

Schritt 7.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

Schritt 7.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2 (- \sqrt{3})}$

Schritt 7.1.6

Addiere $4$ und $12$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 (- \sqrt{3})}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u = \frac{2 \pm 4}{2 (- \sqrt{3})}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$ .

$u = \frac{1 \pm 2}{- \sqrt{3}}$

Schritt 7.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$u = - (\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 7.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.6.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.6.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 7.6.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 7.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7.7

Stelle die Faktoren in $- \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$ um.

$u = - \frac{\sqrt{3} (1 \pm 2)}{3}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 9

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 10

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = - \sqrt{3}$

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 11

Löse in $\sin (x) = - \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- \sqrt{3}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 12

Löse in $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = 0.6154797$

Schritt 12.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Schritt 12.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.6154797$

Schritt 12.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Schritt 12.4.3

Subtrahiere $0.6154797$ von $3.14159265$ .

$x = 2.52611294$

Schritt 12.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 12.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 12.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$