Trigonometrie Beispiele

$8^{2 x} + 8^{x} - 42 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $8^{2 x}$ als ${(8^{x})}^{2}$ um.

${(8^{x})}^{2} + 8^{x} - 42 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = 8^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $8^{x}$ .

$u^{2} + u - 42 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} + u - 42$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 42$ und deren Summe $1$ ist.

$- 6, 7$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 6) (u + 7) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $8^{x}$ .

$(8^{x} - 6) (8^{x} + 7) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$8^{x} - 6 = 0$

$8^{x} + 7 = 0$

Schritt 3

Setze $8^{x} - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $8^{x} - 6$ gleich $0$ .

$8^{x} - 6 = 0$

Schritt 3.2

Löse $8^{x} - 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8^{x} = 6$

Schritt 3.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (8^{x}) = \ln (6)$

Schritt 3.2.3

Zerlege $\ln (8^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (8) = \ln (6)$

Schritt 3.2.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (8) = \ln (6)$ durch $\ln (8)$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (8) = \ln (6)$ durch $\ln (8)$ .

$\frac{x \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (6)}{\ln (8)}$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (8)$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (6)}{\ln (8)}$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (8)}$

Schritt 4

Setze $8^{x} + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $8^{x} + 7$ gleich $0$ .

$8^{x} + 7 = 0$

Schritt 4.2

Löse $8^{x} + 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8^{x} = - 7$

Schritt 4.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (8^{x}) = \ln (- 7)$

Schritt 4.2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 7)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 4.2.4

Es gibt keine Lösung für $8^{x} = - 7$

Keine Lösung

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(8^{x} - 6) (8^{x} + 7) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (8)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (8)}$

Dezimalform:

$x = 0.86165416 \dots$