Trigonometrie Beispiele

$\sec (t) - (\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)}) = \tan (t)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\sec (t) - \frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)}$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} = \tan (t)$

Schritt 1.1.2

Um $\frac{1}{\cos (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$ .

$\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)} - \frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} = \tan (t)$

Schritt 1.1.3

Um $- \frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)} - \frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} = \tan (t)$

Schritt 1.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos (t) (1 + \sin (t))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (t)}$ mit $\frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$ .

$\frac{1 + \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} - \frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} = \tan (t)$

Schritt 1.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)}$ mit $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{1 + \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} - \frac{\cos (t) \cos (t)}{(1 + \sin (t)) \cos (t)} = \tan (t)$

Schritt 1.1.4.3

Stelle die Faktoren von $(1 + \sin (t)) \cos (t)$ um.

$\frac{1 + \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} - \frac{\cos (t) \cos (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + \sin (t) - \cos (t) \cos (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.1

Multipliziere $- \cos (t) \cos (t)$ .

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Schritt 1.1.6.1.1

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sin (t) - (\cos^{1} (t) \cos (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Schritt 1.1.6.1.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sin (t) - (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Schritt 1.1.6.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + \sin (t) - {\cos (t)}^{1 + 1}}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Schritt 1.1.6.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 + \sin (t) - \cos^{2} (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Schritt 1.1.6.2

Bewege $- \cos^{2} (t)$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (t) + \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Schritt 1.1.6.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin^{2} (t) + \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Schritt 1.1.6.4

Faktorisiere $\sin (t)$ aus $\sin^{2} (t) + \sin (t)$ heraus.

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Schritt 1.1.6.4.1

Faktorisiere $\sin (t)$ aus $\sin^{2} (t)$ heraus.

$\frac{\sin (t) \sin (t) + \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Schritt 1.1.6.4.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cdot 1}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Schritt 1.1.6.4.3

Faktorisiere $\sin (t)$ aus $\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cdot 1$ heraus.

$\frac{\sin (t) (\sin (t) + 1)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Schritt 1.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin (t) + 1$ und $1 + \sin (t)$ .

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Schritt 1.1.7.1

Stelle die Terme um.

$\frac{\sin (t) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Schritt 1.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (t) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Schritt 1.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)} = \tan (t)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)} = \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (t)$ .

$\cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)} = \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)} = \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (t) = \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (t) = \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (t) = \sin (t)$

Schritt 6

Damit die zwei Funktionen gleich sind, müssen ihre Argumente gleich sein.

$t = t$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die $t$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $t$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t - t = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $t$ von $t$ .

$0 = 0$

Schritt 8

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $t$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$