Trigonometrie Beispiele

$\frac{2 x}{x^{2} - 1} + \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 x}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(x + 1) (x - 1), x + 1, x - 1$

Schritt 2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.5

Der Teiler von $x + 1$ ist $x + 1$ selbst.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.6

Der Teiler von $x - 1$ ist $x - 1$ selbst.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Der Teiler von $x + 1$ ist $x + 1$ selbst.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.8

Der Teiler von $x - 1$ ist $x - 1$ selbst.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.9

Das kgV von $x + 1, x - 1, x + 1, x - 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(x + 1) (x - 1)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$ mit $(x + 1) (x - 1)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$ mit $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) + \frac{x + 3}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{x + 1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x + 1) (x - 1)$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) + \frac{x + 3}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{x + 1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x + \frac{x + 3}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{x + 1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + \frac{x + 3}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{x + 1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x + (x + 3) (x - 1) = \frac{x + 1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere $(x + 3) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + x (x - 1) + 3 (x - 1) = \frac{x + 1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + x \cdot x + x \cdot - 1 + 3 (x - 1) = \frac{x + 1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + x \cdot x + x \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 = \frac{x + 1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x + x^{2} + x \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 = \frac{x + 1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.4.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x + x^{2} - 1 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 1 = \frac{x + 1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.4.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 x + x^{2} - x + 3 x + 3 \cdot - 1 = \frac{x + 1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.4.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 x + x^{2} - x + 3 x - 3 = \frac{x + 1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.4.2

Addiere $- x$ und $3 x$ .

$2 x + x^{2} + 2 x - 3 = \frac{x + 1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$x^{2} + 4 x - 3 = \frac{x + 1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x + 1) (x - 1)$ heraus.

$x^{2} + 4 x - 3 = \frac{x + 1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + 4 x - 3 = \frac{x + 1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 4 x - 3 = (x + 1) (x + 1)$

Schritt 3.3.2

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$x^{2} + 4 x - 3 = {(x + 1)}^{1} (x + 1)$

Schritt 3.3.3

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$x^{2} + 4 x - 3 = {(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}$

Schritt 3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + 4 x - 3 = {(x + 1)}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} + 4 x - 3 = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$x^{2} + 4 x - 3 = 0 + 0 + {(x + 1)}^{2}$

Schritt 4.1.2

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$x^{2} + 4 x - 3 = (x + 1) (x + 1)$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 4 x - 3 = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Schritt 4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 4 x - 3 = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Schritt 4.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 4 x - 3 = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 4 x - 3 = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + 4 x - 3 = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.4.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + 4 x - 3 = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.4.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x^{2} + 4 x - 3 = x^{2} + x + x + 1$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $x$ und $x$ .

$x^{2} + 4 x - 3 = x^{2} + 2 x + 1$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x - 3 - x^{2} = 2 x + 1$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x - 3 - x^{2} - 2 x = 1$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 4 x - 3 - x^{2} - 2 x$ .

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$4 x - 3 + 0 - 2 x = 1$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $4 x - 3$ und $0$ .

$4 x - 3 - 2 x = 1$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $2 x$ von $4 x$ .

$2 x - 3 = 1$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1 + 3$

Schritt 4.3.2

Addiere $1$ und $3$ .

$2 x = 4$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 4$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 4$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

Schritt 4.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{2}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.3.1

Dividiere $4$ durch $2$ .

$x = 2$