Trigonometrie Beispiele

$| x - 15 | = x^{2} - 15 x$

Schritt 1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 15 x = | x - 15 |$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $| x - 15 | = x^{2} - 15 x$ um.

$| x - 15 | = x^{2} - 15 x$

Schritt 3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x - 15 = \pm (x^{2} - 15 x)$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 15 = x^{2} - 15 x$

Schritt 4.2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 15 x = x - 15$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 15 x - x = - 15$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $x$ von $- 15 x$ .

$x^{2} - 16 x = - 15$

Schritt 4.4

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 16 x + 15 = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere $x^{2} - 16 x + 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $15$ und deren Summe $- 16$ ist.

$- 15, - 1$

Schritt 4.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 15) (x - 1) = 0$

Schritt 4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 15 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4.7

Setze $x - 15$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.7.1

Setze $x - 15$ gleich $0$ .

$x - 15 = 0$

Schritt 4.7.2

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 15$

Schritt 4.8

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.8.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.8.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 15) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 15, 1$

Schritt 4.10

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 15 = - (x^{2} - 15 x)$

Schritt 4.11

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- (x^{2} - 15 x) = x - 15$

Schritt 4.12

Vereinfache $- (x^{2} - 15 x)$ .

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Schritt 4.12.1

Forme um.

$0 + 0 - (x^{2} - 15 x) = x - 15$

Schritt 4.12.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$- (x^{2} - 15 x) = x - 15$

Schritt 4.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} - (- 15 x) = x - 15$

Schritt 4.12.4

Mutltipliziere $- 15$ mit $- 1$ .

$- x^{2} + 15 x = x - 15$

Schritt 4.13

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.13.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} + 15 x - x = - 15$

Schritt 4.13.2

Subtrahiere $x$ von $15 x$ .

$- x^{2} + 14 x = - 15$

Schritt 4.14

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} + 14 x + 15 = 0$

Schritt 4.15

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.15.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} + 14 x + 15$ heraus.

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Schritt 4.15.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 14 x + 15 = 0$

Schritt 4.15.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $14 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 14 x) + 15 = 0$

Schritt 4.15.1.3

Schreibe $15$ als $- 1 (- 15)$ um.

$- (x^{2}) - (- 14 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

Schritt 4.15.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 14 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 14 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

Schritt 4.15.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 14 x) - 1 (- 15)$ heraus.

$- (x^{2} - 14 x - 15) = 0$

Schritt 4.15.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.15.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 14 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.15.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $- 14$ ist.

$- 15, 1$

Schritt 4.15.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 15) (x + 1)) = 0$

Schritt 4.15.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 15) (x + 1) = 0$

Schritt 4.16

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 15 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 4.17

Setze $x - 15$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.17.1

Setze $x - 15$ gleich $0$ .

$x - 15 = 0$

Schritt 4.17.2

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 15$

Schritt 4.18

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.18.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.18.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4.19

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 15) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 15, - 1$

Schritt 4.20

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 15, 1, - 1$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $| x - 15 | = x^{2} - 15 x$ nicht erfüllen.

$x = 15, - 1$