Trigonometrie Beispiele

$(\sec (x) + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))$

Schritt 1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))$

Schritt 2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$

Schritt 3

Multipliziere $(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Schritt 4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x))$ und $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ neu an.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 4.1.2

Addiere $- \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ und $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + 0 + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 4.1.3

Addiere $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ und $0$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 4.2.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 4.2.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 4.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos (x) \cos (x)$

Schritt 4.2.3

Multipliziere $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 4.2.3.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Schritt 4.2.3.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Schritt 4.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - {\cos (x)}^{1 + 1}$

Schritt 4.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x)$

Schritt 4.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x)$

Schritt 5

Schreibe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \cos^{2} (x)$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{1}{\cos (x)}$ und $b = \cos (x)$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$

Schritt 7

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$(\sec (x) + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$

Schritt 8

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$(\sec (x) + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))$

Schritt 9

Multipliziere $(\sec (x) + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) (\sec (x) - \cos (x)) + \cos (x) (\sec (x) - \cos (x))$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \cos (x)) + \cos (x) (\sec (x) - \cos (x))$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \sec (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \sec (x) + \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Schritt 10.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\sec (x) (- \cos (x))$ und $\cos (x) \sec (x)$ neu an.

$\sec (x) \sec (x) - \cos (x) \sec (x) + \cos (x) \sec (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 10.1.2

Addiere $- \cos (x) \sec (x)$ und $\cos (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 10.1.3

Addiere $\sec (x) \sec (x)$ und $0$ .

$\sec (x) \sec (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

Multipliziere $\sec (x) \sec (x)$ .

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Schritt 10.2.1.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 10.2.1.2

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 10.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sec (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 10.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec^{2} (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 10.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\sec^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)$

Schritt 10.2.3

Multipliziere $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 10.2.3.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Schritt 10.2.3.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Schritt 10.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}$

Schritt 10.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec^{2} (x) - \cos^{2} (x)$