Trigonometrie Beispiele

$\cos (2 x + 3) = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x + 3 = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$2 x + 3 = \frac{π}{3}$

Schritt 3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = \frac{π}{3} - 3$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{3} - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{3} - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{6} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{π}{6} - \frac{3}{2}$

Schritt 5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 x + 3 = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 6.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 x + 3 = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 x + 3 = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 6.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x + 3 = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 x + 3 = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 6.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$2 x + 3 = \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = \frac{5 π}{3} - 3$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 π}{3} - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 π}{3} - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 6.3.3.1.2

Multipliziere $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.3.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 6.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{5 π}{6} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 6.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{5 π}{6} - \frac{3}{2}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cos (2 x + 3)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\cos (2 x + 3)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} - \frac{3}{2} + π n, \frac{5 π}{6} - \frac{3}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$