Trigonometrie Beispiele

$\sec (5 x) - 2 = 0$

Schritt 1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sec (5 x) = 2$

Schritt 2

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$5 x = arcsec (2)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $arcsec (2)$ ist $\frac{π}{3}$ .

$5 x = \frac{π}{3}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{π}{3}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{π}{3}$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 5}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$x = \frac{π}{15}$

Schritt 5

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$5 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$5 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$5 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$5 x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 6.1.5

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$5 x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{5 π}{3}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{5 π}{3}$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 6.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 π$ heraus.

$x = \frac{5 (π)}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sec (5 x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $5$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\sec (5 x)$ ist $\frac{2 π}{5}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{5}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ , für jede ganze Zahl $n$