Trigonometrie Beispiele

$\cot (\frac{x}{2} - \frac{π}{3}) = 1$

Schritt 1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = arccot (1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Der genau Wert von $arccot (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = \frac{π}{4}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Addiere $\frac{π}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} + \frac{π}{3}$

Schritt 3.2

Um $\frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 3.3

Um $\frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 + π \cdot 4}{12}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π + π \cdot 4}{12}$

Schritt 3.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π + 4 \cdot π}{12}$

Schritt 3.6.3

Addiere $3 π$ und $4 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{7 π}{12}$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{12}$

Schritt 5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{12}$

Schritt 5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{7 π}{12}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$x = 2 \frac{7 π}{2 (6)}$

Schritt 5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{7 π}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 6

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = π + \frac{π}{4}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.1.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 7.1.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 7.1.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{4}$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Addiere $\frac{π}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{3}$

Schritt 7.2.2

Um $\frac{5 π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 7.2.3

Um $\frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 7.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 7.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Schritt 7.2.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12}$

Schritt 7.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3 + π \cdot 4}{12}$

Schritt 7.2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π + π \cdot 4}{12}$

Schritt 7.2.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π + 4 \cdot π}{12}$

Schritt 7.2.6.3

Addiere $15 π$ und $4 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{19 π}{12}$

Schritt 7.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{19 π}{12}$

Schritt 7.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{19 π}{12}$

Schritt 7.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{19 π}{12}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$x = 2 \frac{19 π}{2 (6)}$

Schritt 7.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{19 π}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{19 π}{6}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\cot (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 8.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 2$

Schritt 8.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\cot (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{19 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$