Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{x + 39} = x + 2$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x + 39}}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 39}$ als ${(x + 39)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 39)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(x + 39)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 39)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 39)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 39)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 39)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$x + 39 = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$x + 39 = (x + 2) (x + 2)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 39 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 39 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 39 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x + 39 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x + 39 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x + 39 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Schritt 2.3.1.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$x + 39 = x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 4 x + 4 = x + 39$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x + 4 - x = 39$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $x$ von $4 x$ .

$x^{2} + 3 x + 4 = 39$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $39$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 3 x + 4 - 39 = 0$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $39$ von $4$ .

$x^{2} + 3 x - 35 = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = - 35$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 35)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 35$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 35$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 140}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.3

Addiere $9$ und $140$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{149}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{149}}{2}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - \sqrt{149}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{149}}{2}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{x + 39} = x + 2$ nicht erfüllen.

$x = - \frac{3 - \sqrt{149}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{3 - \sqrt{149}}{2}$

Dezimalform:

$x = 4.60327780 \dots$