Trigonometrie Beispiele

$20 = 31 \sin (\frac{2 π}{365} x - 1.4)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $31 \sin (\frac{2 π}{365} x - 1.4) = 20$ um.

$31 \sin (\frac{2 π}{365} x - 1.4) = 20$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $31 \sin (\frac{2 π}{365} x - 1.4) = 20$ durch $31$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $31 \sin (\frac{2 π}{365} x - 1.4) = 20$ durch $31$ .

$\frac{31 \sin (\frac{2 π}{365} x - 1.4)}{31} = \frac{20}{31}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $31$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{31 \sin (\frac{2 π}{365} x - 1.4)}{31} = \frac{20}{31}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{2 π}{365} x - 1.4)$ durch $1$ .

$\sin (\frac{2 π}{365} x - 1.4) = \frac{20}{31}$

Schritt 3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{2 π}{365} x - 1.4 = \arcsin (\frac{20}{31})$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{2 π}{365}$ und $x$ .

$\frac{2 π x}{365} - 1.4 = \arcsin (\frac{20}{31})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Berechne $\arcsin (\frac{20}{31})$ .

$\frac{2 π x}{365} - 1.4 = 0.70123436$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Addiere $1.4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 π x}{365} = 0.70123436 + 1.4$

Schritt 6.2

Addiere $0.70123436$ und $1.4$ .

$\frac{2 π x}{365} = 2.10123436$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{365}{2 π}$ .

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 2.10123436$

Schritt 8

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache $\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{365}$ .

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Schritt 8.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $365$ .

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Schritt 8.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 2.10123436$

Schritt 8.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{365}{2 π} \cdot 2.10123436$

Schritt 8.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 8.1.1.2.1

Faktorisiere $2 π$ aus $2 π x$ heraus.

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{365}{2 π} \cdot 2.10123436$

Schritt 8.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{365}{2 π} \cdot 2.10123436$

Schritt 8.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{365}{2 π} \cdot 2.10123436$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $\frac{365}{2 π} \cdot 2.10123436$ .

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Schritt 8.2.1.1

Multipliziere $\frac{365}{2 π} \cdot 2.10123436$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{365}{2 π}$ und $2.10123436$ .

$x = \frac{365 \cdot 2.10123436}{2 π}$

Schritt 8.2.1.1.2

Mutltipliziere $365$ mit $2.10123436$ .

$x = \frac{766.95054307}{2 π}$

Schritt 8.2.1.2

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$x = \frac{766.95054307}{2 \cdot 3.14159265}$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = \frac{766.95054307}{6.2831853}$

Schritt 8.2.1.4

Dividiere $766.95054307$ durch $6.2831853$ .

$x = 122.06397003$

Schritt 9

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{2 π x}{365} - 1.4 = (3.14159265) - 0.70123436$

Schritt 10

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Subtrahiere $0.70123436$ von $3.14159265$ .

$\frac{2 π x}{365} - 1.4 = 2.44035828$

Schritt 10.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Addiere $1.4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 π x}{365} = 2.44035828 + 1.4$

Schritt 10.2.2

Addiere $2.44035828$ und $1.4$ .

$\frac{2 π x}{365} = 3.84035828$

Schritt 10.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{365}{2 π}$ .

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 3.84035828$

Schritt 10.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 10.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.4.1.1

Vereinfache $\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{365}$ .

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Schritt 10.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $365$ .

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Schritt 10.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 3.84035828$

Schritt 10.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{365}{2 π} \cdot 3.84035828$

Schritt 10.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 10.4.1.1.2.1

Faktorisiere $2 π$ aus $2 π x$ heraus.

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{365}{2 π} \cdot 3.84035828$

Schritt 10.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{365}{2 π} \cdot 3.84035828$

Schritt 10.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{365}{2 π} \cdot 3.84035828$

Schritt 10.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.4.2.1

Vereinfache $\frac{365}{2 π} \cdot 3.84035828$ .

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Schritt 10.4.2.1.1

Multipliziere $\frac{365}{2 π} \cdot 3.84035828$ .

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Schritt 10.4.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{365}{2 π}$ und $3.84035828$ .

$x = \frac{365 \cdot 3.84035828}{2 π}$

Schritt 10.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $365$ mit $3.84035828$ .

$x = \frac{1401.73077548}{2 π}$

Schritt 10.4.2.1.2

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$x = \frac{1401.73077548}{2 \cdot 3.14159265}$

Schritt 10.4.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = \frac{1401.73077548}{6.2831853}$

Schritt 10.4.2.1.4

Dividiere $1401.73077548$ durch $6.2831853$ .

$x = 223.0923818$

Schritt 11

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{2 π}{365} x - 1.4)$ .

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Schritt 11.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.2

Ersetze $b$ durch $\frac{2 π}{365}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{365} |}$

Schritt 11.3

$\frac{2 π}{365}$ ist ungefähr $0.0172142$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{365}}$

Schritt 11.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{365}{2 π}$

Schritt 11.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 11.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 π \frac{365}{2 π}$

Schritt 11.5.2

Forme den Ausdruck um.

$365$

Schritt 12

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{2 π}{365} x - 1.4)$ ist $365$ , d. h., Werte werden sich alle $365$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 122.06397003 + 365 n, 223.0923818 + 365 n$ , für jede ganze Zahl $n$