Trigonometrie Beispiele

$\tan^{2} (θ) = \frac{3}{8}$

Schritt 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{\frac{3}{8}}$

Schritt 2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3}{8}}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{8}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$ um.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4 (2)}}$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.4.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 2.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 2.4.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 2.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.4.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 2.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{6}}{4}$

Schritt 3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Schritt 3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{4}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4}, - \frac{\sqrt{6}}{4}$

Schritt 4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{4}$

Schritt 5

Löse in $\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 5.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{6}}{4})$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\arctan (\frac{\sqrt{6}}{4})$ .

$θ = 0.54946724$

Schritt 5.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$θ = (3.14159265) + 0.54946724$

Schritt 5.4

Löse nach $θ$ auf.

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Schritt 5.4.1

Entferne die Klammern.

$θ = 3.14159265 + 0.54946724$

Schritt 5.4.2

Entferne die Klammern.

$θ = (3.14159265) + 0.54946724$

Schritt 5.4.3

Addiere $3.14159265$ und $0.54946724$ .

$θ = 3.69105989$

Schritt 5.5

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 5.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.6

Die Periode der Funktion $\tan (θ)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = 0.54946724 + π n, 3.69105989 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Löse in $\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{4}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (- \frac{\sqrt{6}}{4})$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Berechne $\arctan (- \frac{\sqrt{6}}{4})$ .

$θ = - 0.54946724$

Schritt 6.3

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = - 0.54946724 - (3.14159265)$

Schritt 6.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.4.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.54946724 - (3.14159265)$ .

$θ = - 0.54946724 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 6.4.2

Der resultierende Winkel von $2.5921254$ ist positiv und gleich $- 0.54946724 - (3.14159265)$ .

$θ = 2.5921254$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 6.6

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 6.6.1

Addiere $π$ zu $- 0.54946724$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.54946724 + π$

Schritt 6.6.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$3.14159265 - 0.54946724$

Schritt 6.6.3

Subtrahiere $0.54946724$ von $3.14159265$ .

$2.5921254$

Schritt 6.6.4

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = 2.5921254$

Schritt 6.7

Die Periode der Funktion $\tan (θ)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = 2.5921254 + π n, 2.5921254 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Liste alle Lösungen auf.

$θ = 0.54946724 + π n, 3.69105989 + π n, 2.5921254 + π n, 2.5921254 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 8.1

Führe $0.54946724 + π n$ und $3.69105989 + π n$ zu $0.54946724 + π n$ zusammen.

$θ = 0.54946724 + π n, 2.5921254 + π n, 2.5921254 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8.2

Führe $2.5921254 + π n$ und $2.5921254 + π n$ zu $2.5921254 + π n$ zusammen.

$θ = 0.54946724 + π n, 2.5921254 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$