Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{x + 7}{24 - \sqrt{x^{2} - 49}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x + 7}{24 - \sqrt{x^{2} - 49}} = y$ um.

$\frac{x + 7}{24 - \sqrt{x^{2} - 49}} = y$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $24 - \sqrt{x^{2} - 49}$ .

$\frac{x + 7}{24 - \sqrt{x^{2} - 49}} (24 - \sqrt{x^{2} - 49}) = y (24 - \sqrt{x^{2} - 49})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $24 - \sqrt{x^{2} - 49}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 7}{24 - \sqrt{x^{2} - 49}} (24 - \sqrt{x^{2} - 49}) = y (24 - \sqrt{x^{2} - 49})$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 7 = y (24 - \sqrt{x^{2} - 49})$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $y (24 - \sqrt{x^{2} - 49})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x + 7 = y (24 - \sqrt{x^{2} - 7^{2}})$

Schritt 3.2.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$x + 7 = y (24 - \sqrt{(x + 7) (x - 7)})$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 7 = y \cdot 24 + y (- \sqrt{(x + 7) (x - 7)})$

Schritt 3.2.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.2.2.1

Bringe $24$ auf die linke Seite von $y$ .

$x + 7 = 24 \cdot y + y (- \sqrt{(x + 7) (x - 7)})$

Schritt 3.2.1.2.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x + 7 = 24 \cdot y - y \sqrt{(x + 7) (x - 7)}$

Schritt 3.2.1.2.2.3

Stelle $24 y$ und $- y \sqrt{(x + 7) (x - 7)}$ um.

$x + 7 = - y \sqrt{(x + 7) (x - 7)} + 24 y$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- y \sqrt{(x + 7) (x - 7)} + 24 y = x + 7$

Schritt 4.2

Subtrahiere $24 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y \sqrt{(x + 7) (x - 7)} = x + 7 - 24 y$

Schritt 4.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- y \sqrt{(x + 7) (x - 7)})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(x + 7) (x - 7)}$ als ${((x + 7) (x - 7))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- y {((x + 7) (x - 7))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache ${(- y {((x + 7) (x - 7))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Multipliziere $(x + 7) (x - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(- y {(x (x - 7) + 7 (x - 7))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(- y {(x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 (x - 7))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(- y {(x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 x + 7 \cdot - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.2.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 x + 7 \cdot - 7$ .

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Schritt 4.4.2.1.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 7$ und $7 x$ neu an.

${(- y {(x \cdot x - 7 x + 7 x + 7 \cdot - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.2.1.2

Addiere $- 7 x$ und $7 x$ .

${(- y {(x \cdot x + 0 + 7 \cdot - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.2.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

${(- y {(x \cdot x + 7 \cdot - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

${(- y {(x^{2} + 7 \cdot - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 7$ .

${(- y {(x^{2} - 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.4.2.1.3.1

Wende die Produktregel auf $- y {(x^{2} - 49)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- y)}^{2} {({(x^{2} - 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.3.2

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

${(- 1)}^{2} y^{2} {({(x^{2} - 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 y^{2} {({(x^{2} - 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.5

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} {({(x^{2} - 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.2.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} {(x^{2} - 49)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} {(x^{2} - 49)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} {(x^{2} - 49)}^{1} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.7

Vereinfache.

$y^{2} (x^{2} - 49) = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 49 = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.9

Bringe $- 49$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.3.1

Vereinfache ${(x + 7 - 24 y)}^{2}$ .

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Schritt 4.4.3.1.1

Schreibe ${(x + 7 - 24 y)}^{2}$ als $(x + 7 - 24 y) (x + 7 - 24 y)$ um.

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = (x + 7 - 24 y) (x + 7 - 24 y)$

Schritt 4.4.3.1.2

Multipliziere $(x + 7 - 24 y) (x + 7 - 24 y)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x \cdot x + x \cdot 7 + x (- 24 y) + 7 x + 7 \cdot 7 + 7 (- 24 y) - 24 y x - 24 y \cdot 7 - 24 y (- 24 y)$

Schritt 4.4.3.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + x \cdot 7 + x (- 24 y) + 7 x + 7 \cdot 7 + 7 (- 24 y) - 24 y x - 24 y \cdot 7 - 24 y (- 24 y)$

Schritt 4.4.3.1.3.1.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + 7 \cdot x + x (- 24 y) + 7 x + 7 \cdot 7 + 7 (- 24 y) - 24 y x - 24 y \cdot 7 - 24 y (- 24 y)$

Schritt 4.4.3.1.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + 7 x - 24 x y + 7 x + 7 \cdot 7 + 7 (- 24 y) - 24 y x - 24 y \cdot 7 - 24 y (- 24 y)$

Schritt 4.4.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + 7 x - 24 x y + 7 x + 49 + 7 (- 24 y) - 24 y x - 24 y \cdot 7 - 24 y (- 24 y)$

Schritt 4.4.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 24$ mit $7$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + 7 x - 24 x y + 7 x + 49 - 168 y - 24 y x - 24 y \cdot 7 - 24 y (- 24 y)$

Schritt 4.4.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $7$ mit $- 24$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + 7 x - 24 x y + 7 x + 49 - 168 y - 24 y x - 168 y - 24 y (- 24 y)$

Schritt 4.4.3.1.3.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + 7 x - 24 x y + 7 x + 49 - 168 y - 24 y x - 168 y - 24 \cdot - 24 y \cdot y$

Schritt 4.4.3.1.3.1.8

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.3.1.3.1.8.1

Bewege $y$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + 7 x - 24 x y + 7 x + 49 - 168 y - 24 y x - 168 y - 24 \cdot - 24 (y \cdot y)$

Schritt 4.4.3.1.3.1.8.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + 7 x - 24 x y + 7 x + 49 - 168 y - 24 y x - 168 y - 24 \cdot - 24 y^{2}$

Schritt 4.4.3.1.3.1.9

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 24$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + 7 x - 24 x y + 7 x + 49 - 168 y - 24 y x - 168 y + 576 y^{2}$

Schritt 4.4.3.1.3.2

Addiere $7 x$ und $7 x$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} - 24 x y + 14 x + 49 - 168 y - 24 y x - 168 y + 576 y^{2}$

Schritt 4.4.3.1.4

Subtrahiere $24 y x$ von $- 24 x y$ .

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Schritt 4.4.3.1.4.1

Bewege $y$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} - 24 x y - 24 x y + 14 x + 49 - 168 y - 168 y + 576 y^{2}$

Schritt 4.4.3.1.4.2

Subtrahiere $24 x y$ von $- 24 x y$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} - 48 x y + 14 x + 49 - 168 y - 168 y + 576 y^{2}$

Schritt 4.4.3.1.5

Subtrahiere $168 y$ von $- 168 y$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} - 48 x y + 14 x + 49 - 336 y + 576 y^{2}$

Schritt 4.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 48 x y + 14 x + 49 - 336 y + 576 y^{2} = y^{2} x^{2} - 49 y^{2}$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $y^{2} x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 48 x y + 14 x + 49 - 336 y + 576 y^{2} - y^{2} x^{2} = - 49 y^{2}$

Schritt 4.5.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.5.3.1

Addiere $49 y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 48 x y + 14 x + 49 - 336 y + 576 y^{2} - y^{2} x^{2} + 49 y^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.2

Addiere $576 y^{2}$ und $49 y^{2}$ .

$x^{2} - 48 x y + 14 x + 49 - 336 y + 625 y^{2} - y^{2} x^{2} = 0$

Schritt 4.5.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.5.5

Setze die Werte $a = 1 - y^{2}$ , $b = - 48 y + 14$ und $c = 49 - 336 y + 625 y^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- (- 48 y + 14) \pm \sqrt{{(- 48 y + 14)}^{2} - 4 \cdot ((1 - y^{2}) \cdot (49 - 336 y + 625 y^{2}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6

Vereinfache.

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Schritt 4.5.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- (- 48 y) - 1 \cdot 14 \pm \sqrt{{(- 48 y + 14)}^{2} - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (49 - 336 y + 625 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.2

Mutltipliziere $- 48$ mit $- 1$ .

$x = \frac{48 y - 1 \cdot 14 \pm \sqrt{{(- 48 y + 14)}^{2} - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (49 - 336 y + 625 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $14$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{{(- 48 y + 14)}^{2} - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (49 - 336 y + 625 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.4

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{{(- 48 y + 14)}^{2} - 4 \cdot ((1 - y^{2}) \cdot (49 - 336 y + 625 y^{2}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.5

Es sei $u = (1 - y^{2}) \cdot (49 - 336 y + 625 y^{2})$ . Ersetze $u$ für alle $(1 - y^{2}) \cdot (49 - 336 y + 625 y^{2})$ .

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Schritt 4.5.6.1.5.1

Schreibe ${(- 48 y + 14)}^{2}$ als $(- 48 y + 14) (- 48 y + 14)$ um.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{(- 48 y + 14) (- 48 y + 14) - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.5.2

Multipliziere $(- 48 y + 14) (- 48 y + 14)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.5.6.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{- 48 y (- 48 y + 14) + 14 (- 48 y + 14) - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{- 48 y (- 48 y) - 48 y \cdot 14 + 14 (- 48 y + 14) - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{- 48 y (- 48 y) - 48 y \cdot 14 + 14 (- 48 y) + 14 \cdot 14 - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.5.6.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.6.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{- 48 \cdot (- 48 y \cdot y) - 48 y \cdot 14 + 14 (- 48 y) + 14 \cdot 14 - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.5.3.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.6.1.5.3.1.2.1

Bewege $y$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{- 48 \cdot (- 48 (y \cdot y)) - 48 y \cdot 14 + 14 (- 48 y) + 14 \cdot 14 - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{- 48 \cdot (- 48 y^{2}) - 48 y \cdot 14 + 14 (- 48 y) + 14 \cdot 14 - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $- 48$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{2304 y^{2} - 48 y \cdot 14 + 14 (- 48 y) + 14 \cdot 14 - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.5.3.1.4

Mutltipliziere $14$ mit $- 48$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{2304 y^{2} - 672 y + 14 (- 48 y) + 14 \cdot 14 - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $- 48$ mit $14$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{2304 y^{2} - 672 y - 672 y + 14 \cdot 14 - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.5.3.1.6

Mutltipliziere $14$ mit $14$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{2304 y^{2} - 672 y - 672 y + 196 - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.5.3.2

Subtrahiere $672 y$ von $- 672 y$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{2304 y^{2} - 1344 y + 196 - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{2304 y^{2} - 1344 y + 196 - 4 u}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.6

Faktorisiere $4$ aus $2304 y^{2} - 1344 y + 196 - 4 u$ heraus.

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Schritt 4.5.6.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $2304 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2}) - 1344 y + 196 - 4 u}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $- 1344 y$ heraus.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2}) + 4 (- 336 y) + 196 - 4 u}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $196$ heraus.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2}) + 4 (- 336 y) + 4 (49) - 4 u}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2}) + 4 (- 336 y) + 4 (49) + 4 (- u)}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (576 y^{2}) + 4 (- 336 y)$ heraus.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y) + 4 (49) + 4 (- u)}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (576 y^{2} - 336 y) + 4 (49)$ heraus.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49) + 4 (- u)}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (576 y^{2} - 336 y + 49) + 4 (- u)$ heraus.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - u)}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.7

Ersetze alle $u$ durch $(1 - y^{2}) \cdot (49 - 336 y + 625 y^{2})$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - ((1 - y^{2}) \cdot (49 - 336 y + 625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8

Vereinfache.

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Schritt 4.5.6.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.6.1.8.1.1

Multipliziere $(1 - y^{2}) (49 - 336 y + 625 y^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (1 \cdot 49 + 1 (- 336 y) + 1 (625 y^{2}) - y^{2} \cdot 49 - y^{2} (- 336 y) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.6.1.8.1.2.1

Mutltipliziere $49$ mit $1$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 + 1 (- 336 y) + 1 (625 y^{2}) - y^{2} \cdot 49 - y^{2} (- 336 y) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 336 y$ mit $1$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 1 (625 y^{2}) - y^{2} \cdot 49 - y^{2} (- 336 y) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.2.3

Mutltipliziere $625 y^{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - y^{2} \cdot 49 - y^{2} (- 336 y) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.2.4

Mutltipliziere $49$ mit $- 1$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} - y^{2} (- 336 y) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} - 1 \cdot (- 336 y^{2} y) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.2.6

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.6.1.8.1.2.6.1

Bewege $y$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} - 1 \cdot (- 336 (y \cdot y^{2})) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.2.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 4.5.6.1.8.1.2.6.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} - 1 \cdot (- 336 (y \cdot y^{2})) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} - 1 \cdot (- 336 y^{1 + 2}) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.2.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} - 1 \cdot (- 336 y^{3}) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 336$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} + 336 y^{3} - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.2.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} + 336 y^{3} - 1 \cdot (625 y^{2} y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.2.9

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.6.1.8.1.2.9.1

Bewege $y^{2}$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} + 336 y^{3} - 1 \cdot (625 (y^{2} y^{2}))))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.2.9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} + 336 y^{3} - 1 \cdot (625 y^{2 + 2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.2.9.3

Addiere $2$ und $2$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} + 336 y^{3} - 1 \cdot (625 y^{4})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $625$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} + 336 y^{3} - 625 y^{4}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.3

Subtrahiere $49 y^{2}$ von $625 y^{2}$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 576 y^{2} + 336 y^{3} - 625 y^{4}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - 1 \cdot 49 - (- 336 y) - (576 y^{2}) - (336 y^{3}) - (- 625 y^{4}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.6.1.8.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - 49 - (- 336 y) - (576 y^{2}) - (336 y^{3}) - (- 625 y^{4}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.5.2

Mutltipliziere $- 336$ mit $- 1$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - 49 + 336 y - (576 y^{2}) - (336 y^{3}) - (- 625 y^{4}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.5.3

Mutltipliziere $576$ mit $- 1$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - 49 + 336 y - 576 y^{2} - (336 y^{3}) - (- 625 y^{4}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.5.4

Mutltipliziere $336$ mit $- 1$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - 49 + 336 y - 576 y^{2} - 336 y^{3} - (- 625 y^{4}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.1.5.5

Mutltipliziere $- 625$ mit $- 1$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - 49 + 336 y - 576 y^{2} - 336 y^{3} + 625 y^{4})}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $576 y^{2} - 336 y + 49 - 49 + 336 y - 576 y^{2} - 336 y^{3} + 625 y^{4}$ .

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Schritt 4.5.6.1.8.2.1

Subtrahiere $49$ von $49$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 0 + 336 y - 576 y^{2} - 336 y^{3} + 625 y^{4})}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.2.2

Addiere $576 y^{2} - 336 y$ und $0$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 336 y - 576 y^{2} - 336 y^{3} + 625 y^{4})}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.2.3

Addiere $- 336 y$ und $336 y$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} + 0 - 576 y^{2} - 336 y^{3} + 625 y^{4})}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.2.4

Addiere $576 y^{2}$ und $0$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 576 y^{2} - 336 y^{3} + 625 y^{4})}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.2.5

Subtrahiere $576 y^{2}$ von $576 y^{2}$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (0 - 336 y^{3} + 625 y^{4})}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.8.3

Subtrahiere $336 y^{3}$ von $0$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (- 336 y^{3} + 625 y^{4})}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.9

Faktorisiere $y^{3}$ aus $- 336 y^{3} + 625 y^{4}$ heraus.

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Schritt 4.5.6.1.9.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $- 336 y^{3}$ heraus.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (y^{3} \cdot - 336 + 625 y^{4})}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.9.2

Faktorisiere $y^{3}$ aus $625 y^{4}$ heraus.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (y^{3} \cdot - 336 + y^{3} (625 y))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.9.3

Faktorisiere $y^{3}$ aus $y^{3} \cdot - 336 + y^{3} (625 y)$ heraus.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (y^{3} (- 336 + 625 y))}}{2 (1 - y^{2})}$

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 y^{3} (- 336 + 625 y)}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.10

Schreibe $4 y^{3} (- 336 + 625 y)$ als ${(2 y)}^{2} (y (- 336 + 625 y))$ um.

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Schritt 4.5.6.1.10.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{2^{2} y^{3} (- 336 + 625 y)}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.10.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{2^{2} (y^{2} y) (- 336 + 625 y)}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.10.3

Schreibe $2^{2} y^{2}$ als ${(2 y)}^{2}$ um.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{{(2 y)}^{2} y (- 336 + 625 y)}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.10.4

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{{(2 y)}^{2} (y (- 336 + 625 y))}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{48 y - 14 \pm 2 y \sqrt{y (- 336 + 625 y)}}{2 (1 - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.6.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x = \frac{48 y - 14 \pm 2 y \sqrt{y (- 336 + 625 y)}}{2 (1^{2} - y^{2})}$

Schritt 4.5.6.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = y$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm 2 y \sqrt{y (- 336 + 625 y)}}{2 (1 + y) (1 - y)}$

Schritt 4.5.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{24 y - 7 + y \sqrt{y (- 336 + 625 y)}}{(1 + y) (1 - y)}$

$x = \frac{24 y - 7 - y \sqrt{y (- 336 + 625 y)}}{(1 + y) (1 - y)}$

$x = \frac{24 y - 7 + y \sqrt{y (- 336 + 625 y)}}{(1 + y) (1 - y)}$

$x = \frac{24 y - 7 - y \sqrt{y (- 336 + 625 y)}}{(1 + y) (1 - y)}$

$x = \frac{24 y - 7 + y \sqrt{y (- 336 + 625 y)}}{(1 + y) (1 - y)}$

$x = \frac{24 y - 7 - y \sqrt{y (- 336 + 625 y)}}{(1 + y) (1 - y)}$