Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)} + \frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)}$

Schritt 1

Um $\frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (a)}{\sin (a)}$ .

$\frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\sin (a)}{\sin (a)} + \frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)}$

Schritt 2

Um $\frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\sin (a)}{\sin (a)} + \frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 + \cos (a)) \sin (a)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)}$ mit $\frac{\sin (a)}{\sin (a)}$ .

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{(1 + \cos (a)) \sin (a)} + \frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)}$ mit $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{(1 + \cos (a)) \sin (a)} + \frac{(1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(1 + \cos (a)) \sin (a)$ um.

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))} + \frac{(1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (a) \sin (a) + (1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Multipliziere $\sin (a) \sin (a)$ .

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Schritt 5.1.1

Potenziere $\sin (a)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin (a) + (1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.1.2

Potenziere $\sin (a)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a) + (1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (a)}^{1 + 1} + (1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) + (1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.2

Multipliziere $(1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 (1 + \cos (a)) + \cos (a) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (a) + \cos (a) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (a) + \cos (a) \cdot 1 + \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + 1 \cos (a) + \cos (a) \cdot 1 + \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $\cos (a)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + \cos (a) + \cos (a) \cdot 1 + \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $\cos (a)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + \cos (a) + \cos (a) + \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.3.1.4

Multipliziere $\cos (a) \cos (a)$ .

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Schritt 5.3.1.4.1

Potenziere $\cos (a)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + \cos (a) + \cos (a) + \cos^{1} (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.3.1.4.2

Potenziere $\cos (a)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + \cos (a) + \cos (a) + \cos^{1} (a) \cos^{1} (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + \cos (a) + \cos (a) + {\cos (a)}^{1 + 1}}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + \cos (a) + \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.3.2

Addiere $\cos (a)$ und $\cos (a)$ .

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + 2 \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.4

Schreibe $\sin^{2} (a) + 1 + 2 \cos (a) + \cos^{2} (a)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.4.1

Gruppiere die Terme um.

$\frac{\sin^{2} (a) + \cos^{2} (a) + 1 + 2 \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.4.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 + 1 + 2 \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.4.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 + 2 \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 + 2 \cos (a)$ heraus.

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Schritt 5.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.4.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 \cos (a)$ heraus.

$\frac{2 (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \cos (a)$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{\sin (a)}$

Schritt 7

Separiere Brüche.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (a)}$

Schritt 8

Wandle von $\frac{1}{\sin (a)}$ nach $\csc (a)$ um.

$\frac{2}{1} \csc (a)$

Schritt 9

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \csc (a)$