Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (225) - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

${(- \sin (45))}^{2} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.3.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

${(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

${(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2^{1}}{2^{2}} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2}{2^{2}} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2}{4} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.9

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{1}{2} - {(- \cos (0))}^{2} + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.10

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} - {(- 1 \cdot 1)}^{2} + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} - {(- 1)}^{2} + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.12

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.12.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} + {(- 1)}^{1 + 2} + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.12.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1}{2} + {(- 1)}^{3} + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.13

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} - 1 + \tan^{2} (60)$

Schritt 1.14

Der genau Wert von $\tan (60)$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{2} - 1 + {\sqrt{3}}^{2}$

Schritt 1.15

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.15.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} - 1 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 1.15.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - 1 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 1.15.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{2} - 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

Schritt 1.15.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.15.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} - 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

Schritt 1.15.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} - 1 + 3^{1}$

Schritt 1.15.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{2} - 1 + 3$

Schritt 2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} + 3$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} + 3$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + 3$

Schritt 2.4

Schreibe $3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Schritt 3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 - 2 + 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1 - 2 + 6}{2}$

Schritt 5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{- 1 + 6}{2}$

Schritt 5.2

Addiere $- 1$ und $6$ .

$\frac{5}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{2}$

Dezimalform:

$2.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{1}{2}$