Trigonometrie Beispiele

$\frac{x}{x - 1} + \frac{2 x - 1}{x^{2} - 3 x + 2}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x}{x - 1} + \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x - 1)}$

Schritt 2

Um $\frac{x}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x - 1)}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 1) (x - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x - 1}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x - 1) (x - 2)} + \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x - 1)}$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $(x - 2) (x - 1)$ um.

$\frac{x (x - 2)}{(x - 1) (x - 2)} + \frac{2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x - 2) + 2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Schritt 5.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x + 2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Schritt 5.4

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Schritt 5.5

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Schritt 5.6

Schreibe $x^{2} - 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.6.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{(x - 1) (x - 2)}$

Schritt 5.6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 1}{x - 2}$