Trigonometrie Beispiele

$\tan^{2} (a) - \sin^{2} (a)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe $\tan (a)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{\sin (a)}{\cos (a)})}^{2} - \sin^{2} (a)$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ an.

$\frac{\sin^{2} (a)}{\cos^{2} (a)} - \sin^{2} (a)$

Schritt 2

Schreibe $\frac{\sin^{2} (a)}{\cos^{2} (a)}$ als ${(\frac{\sin (a)}{\cos (a)})}^{2}$ um.

${(\frac{\sin (a)}{\cos (a)})}^{2} - \sin^{2} (a)$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ und $b = \sin (a)$ .

$(\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a)) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a))$

Schritt 4

Wandle von $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ nach $\tan (a)$ um.

$(\tan (a) + \sin (a)) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a))$

Schritt 5

Wandle von $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ nach $\tan (a)$ um.

$(\tan (a) + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))$

Schritt 6

Multipliziere $(\tan (a) + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (a) (\tan (a) - \sin (a)) + \sin (a) (\tan (a) - \sin (a))$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (a) \tan (a) + \tan (a) (- \sin (a)) + \sin (a) (\tan (a) - \sin (a))$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (a) \tan (a) + \tan (a) (- \sin (a)) + \sin (a) \tan (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\tan (a) \tan (a) + \tan (a) (- \sin (a)) + \sin (a) \tan (a) + \sin (a) (- \sin (a))$ .

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Schritt 7.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\tan (a) (- \sin (a))$ und $\sin (a) \tan (a)$ neu an.

$\tan (a) \tan (a) - \sin (a) \tan (a) + \sin (a) \tan (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Schritt 7.1.2

Addiere $- \sin (a) \tan (a)$ und $\sin (a) \tan (a)$ .

$\tan (a) \tan (a) + 0 + \sin (a) (- \sin (a))$

Schritt 7.1.3

Addiere $\tan (a) \tan (a)$ und $0$ .

$\tan (a) \tan (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere $\tan (a) \tan (a)$ .

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $\tan (a)$ mit $1$ .

$\tan^{1} (a) \tan (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $\tan (a)$ mit $1$ .

$\tan^{1} (a) \tan^{1} (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Schritt 7.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\tan (a)}^{1 + 1} + \sin (a) (- \sin (a))$

Schritt 7.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan^{2} (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Schritt 7.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\tan^{2} (a) - \sin (a) \sin (a)$

Schritt 7.2.3

Multipliziere $- \sin (a) \sin (a)$ .

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Schritt 7.2.3.1

Potenziere $\sin (a)$ mit $1$ .

$\tan^{2} (a) - (\sin^{1} (a) \sin (a))$

Schritt 7.2.3.2

Potenziere $\sin (a)$ mit $1$ .

$\tan^{2} (a) - (\sin^{1} (a) \sin^{1} (a))$

Schritt 7.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan^{2} (a) - {\sin (a)}^{1 + 1}$

Schritt 7.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan^{2} (a) - \sin^{2} (a)$