Trigonometrie Beispiele

$\tan^{9} (45) + \csc^{2} (60) + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$1^{9} + \csc^{2} (60) + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + \csc^{2} (60) + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.3

Der genau Wert von $\csc (60)$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$1 + {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$1 + {(\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.5.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.5.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.5.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ an.

$1 + \frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.6.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

$1 + \frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$1 + \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.7.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.7.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + \frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.7.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$1 + \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.7.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.7.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{4 \cdot 3^{1}}{3^{2}} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.7.2.5

Berechne den Exponenten.

$1 + \frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$1 + \frac{4 \cdot 3}{9} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$1 + \frac{12}{9} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $9$ .

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Schritt 1.10.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$1 + \frac{3 (4)}{9} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$1 + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{4}{3} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.11

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{4}{3} + \frac{1}{2} + \cos^{2} (60)$

Schritt 1.12

Der genau Wert von $\cos (60)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{4}{3} + \frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 1.13

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$1 + \frac{4}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 1.14

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + \frac{4}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 1.15

Potenziere $2$ mit $2$ .

$1 + \frac{4}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{1} + \frac{4}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{12}{12}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{12}{12} + \frac{4}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{4}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{1}{4}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{3}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{3}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{6}{12} + \frac{3}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.12

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 3$ um.

$\frac{12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{6}{12} + \frac{3}{3 \cdot 4}$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{6}{12} + \frac{3}{12}$

Schritt 3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{12 + 4 \cdot 4 + 6 + 3}{12}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{12 + 16 + 6 + 3}{12}$

Schritt 4.2

Addiere $12$ und $16$ .

$\frac{28 + 6 + 3}{12}$

Schritt 4.3

Addiere $28$ und $6$ .

$\frac{34 + 3}{12}$

Schritt 4.4

Addiere $34$ und $3$ .

$\frac{37}{12}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{37}{12}$

Dezimalform:

$3.08\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$3 \frac{1}{12}$