Trigonometrie Beispiele

$\csc^{2} (75) - \tan^{2} (15)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\csc (75)$ ist $- \sqrt{2} + \sqrt{6}$ .

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Schritt 1.1.1

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\csc^{2} (30 + 45) - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

${(\frac{\sec (30) \sec (45) \csc (30) \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.3

Der genau Wert von $\sec (30)$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \sec (45) \csc (30) \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.4

Der genau Wert von $\sec (45)$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \csc (30) \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.5

Der genau Wert von $\csc (30)$ ist $2$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.6

Der genau Wert von $\csc (45)$ ist $\sqrt{2}$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.7

Der genau Wert von $\sec (30)$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.8

Der genau Wert von $\csc (45)$ ist $\sqrt{2}$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.9

Der genau Wert von $\csc (30)$ ist $2$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.10

Der genau Wert von $\sec (45)$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11

Vereinfache $\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$ .

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Schritt 1.1.11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.11.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.1.2

Kombiniere $\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}}$ und $2$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}} \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.1.3

Kombiniere $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}}$ und $\sqrt{2}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.11.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.11.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.1.11.2.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.11.2.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.2.6.5

Berechne den Exponenten.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.3

Multipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \sqrt{2}$ .

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Schritt 1.1.11.2.3.1

Kombiniere $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ und $\sqrt{2}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{2}}{3} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.3.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{2 \cdot 3}}{3} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.4

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.11.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.5.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.1.11.2.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.11.2.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.5.6.5

Berechne den Exponenten.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.11.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.7

Um $2 \sqrt{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.8

Kombiniere $2 \sqrt{2}$ und $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + \frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.11.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(\frac{\frac{4 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

${(\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.11.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

${(\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{3 \cdot 2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

${(\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.11.5.1

Vereinige $\sqrt{2}$ und $\sqrt{6}$ zu einer einzigen Wurzel.

${(\frac{8 \sqrt{\frac{2}{6}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 1.1.11.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

${(\frac{8 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.11.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

${(\frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{8 \sqrt{\frac{1}{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5.3

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

${(\frac{8 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

${(\frac{8 \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{8 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.11.5.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5.6.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5.6.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5.6.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.1.11.5.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.11.5.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5.6.6.5

Berechne den Exponenten.

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.5.7

Kombiniere $8$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(\frac{\frac{8 \sqrt{3}}{3}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

${(\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.11.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.7.2

Forme den Ausdruck um.

${(8 \sqrt{3} \frac{1}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.8

Kombiniere $\frac{1}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$ und $8$ .

${(\frac{8}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}} \sqrt{3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.9

Kombiniere $\frac{8}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$ und $\sqrt{3}$ .

${(\frac{8 \sqrt{3}}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.11.10.1

Faktorisiere $2$ aus $8 \sqrt{3}$ heraus.

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.11.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{6}$ heraus.

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6}) + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.10.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{2}$ heraus.

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6}) + 2 (3 \sqrt{2})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.10.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{6}) + 2 (3 \sqrt{2})$ heraus.

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6} + 3 \sqrt{2})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.10.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6} + 3 \sqrt{2})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.10.2.5

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.11

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}$ .

${(\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.12

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}$ .

${(\frac{4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}) (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.13

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

${(\frac{4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} - 3 \sqrt{12} + 3 \sqrt{12} - 9 {\sqrt{2}}^{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.14

Vereinfache.

${(\frac{4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{- 12})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 12$ .

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Schritt 1.1.11.15.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})$ heraus.

${(\frac{4 (\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}))}{- 12})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.11.15.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

${(\frac{4 (\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}))}{4 \cdot - 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{4 (\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}))}{4 \cdot - 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.16

Wende das Distributivgesetz an.

${(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{2})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.17

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

${(\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{2})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.18

Multipliziere $\sqrt{3} (- 3 \sqrt{2})$ .

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Schritt 1.1.11.18.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

${(\frac{\sqrt{3 \cdot 6} - 3 \sqrt{3 \cdot 2}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.18.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

${(\frac{\sqrt{3 \cdot 6} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.19

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.11.19.1

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

${(\frac{\sqrt{18} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.19.2

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.1.11.19.2.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

${(\frac{\sqrt{9 (2)} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.19.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

${(\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.19.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

${(\frac{3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}$ und $- 3$ .

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Schritt 1.1.11.20.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{2}$ heraus.

${(\frac{3 (\sqrt{2}) - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.20.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \sqrt{6}$ heraus.

${(\frac{3 (\sqrt{2}) + 3 (- \sqrt{6})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.20.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (\sqrt{2}) + 3 (- \sqrt{6})$ heraus.

${(\frac{3 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.20.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{- 1}$ .

${(- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6}))}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.21

Schreibe $- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ als $- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ um.

${(- (\sqrt{2} - \sqrt{6}))}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.22

Wende das Distributivgesetz an.

${(- \sqrt{2} - - \sqrt{6})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.23

Multipliziere $- - \sqrt{6}$ .

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Schritt 1.1.11.23.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

${(- \sqrt{2} + 1 \sqrt{6})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.1.11.23.2

Mutltipliziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

${(- \sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.2

Schreibe ${(- \sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}$ als $(- \sqrt{2} + \sqrt{6}) (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$ um.

$(- \sqrt{2} + \sqrt{6}) (- \sqrt{2} + \sqrt{6}) - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.3

Multipliziere $(- \sqrt{2} + \sqrt{6}) (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{2} (- \sqrt{2} + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (- \sqrt{2} + \sqrt{6}) - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2} + \sqrt{6}) - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Multipliziere $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 1.4.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.1.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

${\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.1.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

${\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sqrt{2}}^{1 + 1} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.4.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{1} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$2 - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.3

Multipliziere $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.3.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$2 - \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$2 - \sqrt{12} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$2 - \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 - (2 \sqrt{3}) + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.7

Multipliziere $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.7.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.7.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.8

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.11

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 6} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.12

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{36} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.13

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{6^{2}} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.1.14

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 6 - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.2

Addiere $2$ und $6$ .

$8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.4.3

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von $- 2 \sqrt{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - \tan^{2} (15)$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\tan (15)$ ist $2 - \sqrt{3}$ .

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Schritt 1.5.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$8 - 4 \sqrt{3} - \tan^{2} (45 - 30)$

Schritt 1.5.2

Separiere die Negation.

$8 - 4 \sqrt{3} - \tan^{2} (45 - (30))$

Schritt 1.5.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

Schritt 1.5.4

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

Schritt 1.5.5

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

Schritt 1.5.6

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)})}^{2}$

Schritt 1.5.7

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Schritt 1.5.8

Vereinfache $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Schritt 1.5.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Schritt 1.5.8.1.1

Mutltipliziere $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Schritt 1.5.8.1.2

Kombinieren.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Schritt 1.5.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Schritt 1.5.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.8.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in den Zähler.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Schritt 1.5.8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Schritt 1.5.8.3.3

Forme den Ausdruck um.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Schritt 1.5.8.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Schritt 1.5.8.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.8.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Schritt 1.5.8.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.8.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 1$ heraus.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Schritt 1.5.8.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Schritt 1.5.8.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})}^{2}$

Schritt 1.5.8.6

Mutltipliziere $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}})}^{2}$

Schritt 1.5.8.7

Mutltipliziere $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})}^{2}$

Schritt 1.5.8.8

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})}^{2}$

Schritt 1.5.8.9

Vereinfache.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.8.10.1

Potenziere $3 - \sqrt{3}$ mit $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.10.2

Potenziere $3 - \sqrt{3}$ mit $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.10.4

Addiere $1$ und $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.11

Schreibe ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ als $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ um.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.12

Multipliziere $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.8.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.8.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.8.13.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.13.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.13.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.13.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 1.5.8.13.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.13.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.13.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.13.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.13.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.13.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.13.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.5.8.13.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.13.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.13.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.13.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.8.13.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.13.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.13.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.13.2

Addiere $9$ und $3$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.13.3

Subtrahiere $3 \sqrt{3}$ von $- 3 \sqrt{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 - 6 \sqrt{3}$ und $6$ .

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Schritt 1.5.8.14.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.14.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6 \sqrt{3}$ heraus.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.14.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ heraus.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Schritt 1.5.8.14.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.8.14.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)})}^{2}$

Schritt 1.5.8.14.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1})}^{2}$

Schritt 1.5.8.14.4.3

Forme den Ausdruck um.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{2 - \sqrt{3}}{1})}^{2}$

Schritt 1.5.8.14.4.4

Dividiere $2 - \sqrt{3}$ durch $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 1.6

Schreibe ${(2 - \sqrt{3})}^{2}$ als $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ um.

$8 - 4 \sqrt{3} - ((2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))$

Schritt 1.7

Multipliziere $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 - 4 \sqrt{3} - (2 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3}))$

Schritt 1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 - 4 \sqrt{3} - (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3}))$

Schritt 1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 - 4 \sqrt{3} - (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Schritt 1.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Schritt 1.8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Schritt 1.8.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Schritt 1.8.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})$

Schritt 1.8.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})$

Schritt 1.8.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Schritt 1.8.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Schritt 1.8.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})$

Schritt 1.8.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})$

Schritt 1.8.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.8.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Schritt 1.8.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Schritt 1.8.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})$

Schritt 1.8.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.8.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})$

Schritt 1.8.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{1})$

Schritt 1.8.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3)$

Schritt 1.8.2

Addiere $4$ und $3$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3})$

Schritt 1.8.3

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von $- 2 \sqrt{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (7 - 4 \sqrt{3})$

Schritt 1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$8 - 4 \sqrt{3} - 1 \cdot 7 - (- 4 \sqrt{3})$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - 7 - (- 4 \sqrt{3})$

Schritt 1.11

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - 7 + 4 \sqrt{3}$

Schritt 2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $7$ von $8$ .

$1 - 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}$

Schritt 2.2

Addiere $- 4 \sqrt{3}$ und $4 \sqrt{3}$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$1$