Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (67.5) - \sin^{2} (67.5)$

Schritt 1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 \cdot 67.5)$

Schritt 2

Mutltipliziere $2$ mit $67.5$ .

$\cos (135)$

Schritt 3

Der genau Wert von $\cos (135)$ ist $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $135$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\cos (\frac{270}{2})$

Schritt 3.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (270)}{2}}$

Schritt 3.3

Wechsele das $\pm$ zu $-$ , da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (270)}{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 + \cos (270)}{2}}$ .

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Schritt 3.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (90)}{2}}$

Schritt 3.4.2

Der genau Wert von $\cos (90)$ ist $0$ .

$- \sqrt{\frac{1 - 0}{2}}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 0}{2}}$

Schritt 3.4.4

Addiere $1$ und $0$ .

$- \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.4.5

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$- \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.6

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 3.4.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.8.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.8.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.4.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.8.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.4.8.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$- 0.70710678 \dots$