Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (60) + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\cos (60)$ ist $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{1}{2})}^{2} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{1^{2}}{2^{2}} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2^{2}} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sekans im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{1}{4} + {(- \sec (30))}^{2} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.6

Der genau Wert von $\sec (30)$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2}{\sqrt{3}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.7

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{4} + {(- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))}^{2} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.8.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.8.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.8.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.8.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.8.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.9

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.9.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ an.

$\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.9.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ an.

$\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.9.3

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

$\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.10

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} + 1 \frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.11

Mutltipliziere $\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.12.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.12.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.12.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} + \frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.12.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.12.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.12.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.12.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.12.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{1}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.12.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.13

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3}{9} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.14

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} + \frac{12}{9} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $9$ .

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Schritt 1.15.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{1}{4} + \frac{3 (4)}{9} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.15.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + \csc^{2} (225)$

Schritt 1.16

Apply the reference angle by finding the angle with equivalent trig values in the first quadrant. Make the expression negative because cosecant is negative in the third quadrant.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(- \csc (45))}^{2}$

Schritt 1.17

Der genau Wert von $\csc (45)$ ist $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(- \sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.18

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 1.19

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 1 {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 1.20

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 1.21

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.21.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 1.21.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 1.21.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 1.21.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.21.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 1.21.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{1}$

Schritt 1.21.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2$

Schritt 2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3} + 2$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4}{3} + 2$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + 2$

Schritt 2.5

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2}{1}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{12}{12}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{12}{12}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Schritt 2.8

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 3$ um.

$\frac{3}{3 \cdot 4} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{3}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{3}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Schritt 3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 + 4 \cdot 4 + 2 \cdot 12}{12}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{3 + 16 + 2 \cdot 12}{12}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$\frac{3 + 16 + 24}{12}$

Schritt 5

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.1

Addiere $3$ und $16$ .

$\frac{19 + 24}{12}$

Schritt 5.2

Addiere $19$ und $24$ .

$\frac{43}{12}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{43}{12}$

Dezimalform:

$3.58\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$3 \frac{7}{12}$