Trigonometrie Beispiele

$\cos^{6} (a) + \sin^{6} (a)$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\cos^{6} (a)$ als ${(\cos^{2} (a))}^{3}$ um.

${(\cos^{2} (a))}^{3} + \sin^{6} (a)$

Schritt 1.2

Schreibe $\sin^{6} (a)$ als ${(\sin^{2} (a))}^{3}$ um.

${(\cos^{2} (a))}^{3} + {(\sin^{2} (a))}^{3}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = \cos^{2} (a)$ und $b = \sin^{2} (a)$ .

$(\cos^{2} (a) + \sin^{2} (a)) ({(\cos^{2} (a))}^{2} - \cos^{2} (a) \sin^{2} (a) + {(\sin^{2} (a))}^{2})$

Schritt 3

Ordne Terme um.

$(\sin^{2} (a) + \cos^{2} (a)) ({(\cos^{2} (a))}^{2} - \cos^{2} (a) \sin^{2} (a) + {(\sin^{2} (a))}^{2})$

Schritt 4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 ({(\cos^{2} (a))}^{2} - \cos^{2} (a) \sin^{2} (a) + {(\sin^{2} (a))}^{2})$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere ${(\cos^{2} (a))}^{2} - \cos^{2} (a) \sin^{2} (a) + {(\sin^{2} (a))}^{2}$ mit $1$ .

${(\cos^{2} (a))}^{2} - \cos^{2} (a) \sin^{2} (a) + {(\sin^{2} (a))}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(\cos^{2} (a))}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (a)}^{2 \cdot 2} - \cos^{2} (a) \sin^{2} (a) + {(\sin^{2} (a))}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\cos^{4} (a) - \cos^{2} (a) \sin^{2} (a) + {(\sin^{2} (a))}^{2}$

Schritt 5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(\sin^{2} (a))}^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos^{4} (a) - \cos^{2} (a) \sin^{2} (a) + {\sin (a)}^{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\cos^{4} (a) - \cos^{2} (a) \sin^{2} (a) + \sin^{4} (a)$