Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (135) - 2 \cos (135) - 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

${(- \cos (45))}^{2} - 2 \cos (135) - 1$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 2 \cos (135) - 1$

Schritt 1.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.3.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

${(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 2 \cos (135) - 1$

Schritt 1.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

${(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 2 \cos (135) - 1$

Schritt 1.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 2 \cos (135) - 1$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 2 \cos (135) - 1$

Schritt 1.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 2 \cos (135) - 1$

Schritt 1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 2 \cos (135) - 1$

Schritt 1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 2 \cos (135) - 1$

Schritt 1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 2 \cos (135) - 1$

Schritt 1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2^{1}}{2^{2}} - 2 \cos (135) - 1$

Schritt 1.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2}{2^{2}} - 2 \cos (135) - 1$

Schritt 1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2}{4} - 2 \cos (135) - 1$

Schritt 1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4} - 2 \cos (135) - 1$

Schritt 1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} - 2 \cos (135) - 1$

Schritt 1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} - 2 \cos (135) - 1$

Schritt 1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} - 2 \cos (135) - 1$

Schritt 1.9

$\frac{1}{2} - 2 (- \cos (45)) - 1$

Schritt 1.10

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - 1$

Schritt 1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.11.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$\frac{1}{2} - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 1$

Schritt 1.11.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{2} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{2}}{2} - 1$

Schritt 1.11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 1$

Schritt 1.11.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} - 1 (- \sqrt{2}) - 1$

Schritt 1.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 1 \sqrt{2} - 1$

Schritt 1.13

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1$

Schritt 2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2} + \sqrt{2}$

Schritt 3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \sqrt{2}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2} + \sqrt{2}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 - 2}{2} + \sqrt{2}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{- 1}{2} + \sqrt{2}$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} + \sqrt{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2} + \sqrt{2}$

Dezimalform:

$0.91421356 \dots$