Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (112.5) - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 \cdot 112.5)$

Schritt 2

Mutltipliziere $2$ mit $112.5$ .

$\cos (225)$

Schritt 3

Der genau Wert von $\cos (225)$ ist $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $225$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\cos (\frac{450}{2})$

Schritt 3.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (450)}{2}}$

Schritt 3.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ , da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (450)}{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 + \cos (450)}{2}}$ .

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Schritt 3.4.1

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (90)}{2}}$

Schritt 3.4.2

Der genau Wert von $\cos (90)$ ist $0$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 0}{2}}$

Schritt 3.4.3

Addiere $1$ und $0$ .

$- \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$- \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 3.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.7.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.7.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.7.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$- 0.70710678 \dots$