Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cos (y)}{1 + \sin (y)} + \frac{1 + \sin (y)}{\cos (y)}$

Schritt 1

Um $\frac{\cos (y)}{1 + \sin (y)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{\cos (y)}{1 + \sin (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\cos (y)} + \frac{1 + \sin (y)}{\cos (y)}$

Schritt 2

Um $\frac{1 + \sin (y)}{\cos (y)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \sin (y)}{1 + \sin (y)}$ .

$\frac{\cos (y)}{1 + \sin (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\cos (y)} + \frac{1 + \sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{1 + \sin (y)}{1 + \sin (y)}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 + \sin (y)) \cos (y)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (y)}{1 + \sin (y)}$ mit $\frac{\cos (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{\cos (y) \cos (y)}{(1 + \sin (y)) \cos (y)} + \frac{1 + \sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{1 + \sin (y)}{1 + \sin (y)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1 + \sin (y)}{\cos (y)}$ mit $\frac{1 + \sin (y)}{1 + \sin (y)}$ .

$\frac{\cos (y) \cos (y)}{(1 + \sin (y)) \cos (y)} + \frac{(1 + \sin (y)) (1 + \sin (y))}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(1 + \sin (y)) \cos (y)$ um.

$\frac{\cos (y) \cos (y)}{\cos (y) (1 + \sin (y))} + \frac{(1 + \sin (y)) (1 + \sin (y))}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (y) \cos (y) + (1 + \sin (y)) (1 + \sin (y))}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Multipliziere $\cos (y) \cos (y)$ .

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Schritt 5.1.1

Potenziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (y) \cos (y) + (1 + \sin (y)) (1 + \sin (y))}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.1.2

Potenziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (y) \cos^{1} (y) + (1 + \sin (y)) (1 + \sin (y))}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (y)}^{1 + 1} + (1 + \sin (y)) (1 + \sin (y))}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (y) + (1 + \sin (y)) (1 + \sin (y))}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.2

Multipliziere $(1 + \sin (y)) (1 + \sin (y))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (y) + 1 (1 + \sin (y)) + \sin (y) (1 + \sin (y))}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (y) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (y) + \sin (y) (1 + \sin (y))}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (y) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (y) + \sin (y) \cdot 1 + \sin (y) \sin (y)}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (y) + 1 + 1 \sin (y) + \sin (y) \cdot 1 + \sin (y) \sin (y)}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (y) + 1 + \sin (y) + \sin (y) \cdot 1 + \sin (y) \sin (y)}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (y) + 1 + \sin (y) + \sin (y) + \sin (y) \sin (y)}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.3.1.4

Multipliziere $\sin (y) \sin (y)$ .

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Schritt 5.3.1.4.1

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (y) + 1 + \sin (y) + \sin (y) + \sin^{1} (y) \sin (y)}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.3.1.4.2

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (y) + 1 + \sin (y) + \sin (y) + \sin^{1} (y) \sin^{1} (y)}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (y) + 1 + \sin (y) + \sin (y) + {\sin (y)}^{1 + 1}}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (y) + 1 + \sin (y) + \sin (y) + \sin^{2} (y)}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.3.2

Addiere $\sin (y)$ und $\sin (y)$ .

$\frac{\cos^{2} (y) + 1 + 2 \sin (y) + \sin^{2} (y)}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.4

Schreibe $\cos^{2} (y) + 1 + 2 \sin (y) + \sin^{2} (y)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.4.1

Gruppiere die Terme um.

$\frac{\cos^{2} (y) + \sin^{2} (y) + 1 + 2 \sin (y)}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.4.2

Ordne Terme um.

$\frac{\sin^{2} (y) + \cos^{2} (y) + 1 + 2 \sin (y)}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.4.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 + 1 + 2 \sin (y)}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 + 2 \sin (y)}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 + 2 \sin (y)$ heraus.

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Schritt 5.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \sin (y)}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 5.4.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 \sin (y)$ heraus.

$\frac{2 (1 + \sin (y))}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \sin (y)$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 + \sin (y))}{\cos (y) (1 + \sin (y))}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{\cos (y)}$

Schritt 7

Separiere Brüche.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (y)}$

Schritt 8

Wandle von $\frac{1}{\cos (y)}$ nach $\sec (y)$ um.

$\frac{2}{1} \sec (y)$

Schritt 9

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \sec (y)$