Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cos (u) + 1}{\sin (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u) + 1}$

Schritt 1

Um $\frac{\cos (u) + 1}{\sin (u)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (u) + 1}{\cos (u) + 1}$ .

$\frac{\cos (u) + 1}{\sin (u)} \cdot \frac{\cos (u) + 1}{\cos (u) + 1} + \frac{\sin (u)}{\cos (u) + 1}$

Schritt 2

Um $\frac{\sin (u)}{\cos (u) + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (u)}{\sin (u)}$ .

$\frac{\cos (u) + 1}{\sin (u)} \cdot \frac{\cos (u) + 1}{\cos (u) + 1} + \frac{\sin (u)}{\cos (u) + 1} \cdot \frac{\sin (u)}{\sin (u)}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sin (u) (\cos (u) + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (u) + 1}{\sin (u)}$ mit $\frac{\cos (u) + 1}{\cos (u) + 1}$ .

$\frac{(\cos (u) + 1) (\cos (u) + 1)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u) + 1} \cdot \frac{\sin (u)}{\sin (u)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (u)}{\cos (u) + 1}$ mit $\frac{\sin (u)}{\sin (u)}$ .

$\frac{(\cos (u) + 1) (\cos (u) + 1)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)} + \frac{\sin (u) \sin (u)}{(\cos (u) + 1) \sin (u)}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(\cos (u) + 1) \sin (u)$ um.

$\frac{(\cos (u) + 1) (\cos (u) + 1)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)} + \frac{\sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(\cos (u) + 1) (\cos (u) + 1) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(\cos (u) + 1) (\cos (u) + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (u) (\cos (u) + 1) + 1 (\cos (u) + 1) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (u) \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + 1 (\cos (u) + 1) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (u) \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + 1 \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $\cos (u) \cos (u)$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Potenziere $\cos (u)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (u) \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + 1 \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.2.1.1.2

Potenziere $\cos (u)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (u) \cos^{1} (u) + \cos (u) \cdot 1 + 1 \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (u)}^{1 + 1} + \cos (u) \cdot 1 + 1 \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.2.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + \cos (u) \cdot 1 + 1 \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $\cos (u)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + \cos (u) + 1 \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $\cos (u)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + \cos (u) + \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + \cos (u) + \cos (u) + 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.2.2

Addiere $\cos (u)$ und $\cos (u)$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.3

Multipliziere $\sin (u) \sin (u)$ .

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Schritt 5.3.1

Potenziere $\sin (u)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1 + \sin^{1} (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $\sin (u)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1 + \sin^{1} (u) \sin^{1} (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1 + {\sin (u)}^{1 + 1}}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1 + \sin^{2} (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.4

Schreibe $\cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1 + \sin^{2} (u)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.4.1

Gruppiere die Terme um.

$\frac{\cos^{2} (u) + \sin^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.4.2

Ordne Terme um.

$\frac{\sin^{2} (u) + \cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.4.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 + 2 \cos (u) + 1}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 + 2 \cos (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 + 2 \cos (u)$ heraus.

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Schritt 5.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 5.4.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 \cos (u)$ heraus.

$\frac{2 (1 + \cos (u))}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 + \cos (u)$ und $\cos (u) + 1$ .

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Schritt 6.1

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{\sin (u)}$

Schritt 7

Separiere Brüche.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (u)}$

Schritt 8

Wandle von $\frac{1}{\sin (u)}$ nach $\csc (u)$ um.

$\frac{2}{1} \csc (u)$

Schritt 9

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \csc (u)$