Trigonometrie Beispiele

$\frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{5 + 5 \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1

Faktorisiere $5$ aus $5 + 5 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{5 \cdot 1 + 5 \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 \cdot 1 + 5 \sin (x)$ heraus.

$\frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{5 (1 + \sin (x))}{\cos (x)}$

Schritt 2

Um $\frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{5 (1 + \sin (x))}{\cos (x)}$

Schritt 3

Um $\frac{5 (1 + \sin (x))}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{5 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{5 \cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)} + \frac{5 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{5 (1 + \sin (x))}{\cos (x)}$ mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{5 \cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)} + \frac{5 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ um.

$\frac{5 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{5 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 \cos (x) \cos (x) + 5 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \cos (x) \cos (x) + 5 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \cos (x) \cos (x)$ heraus.

$\frac{5 (\cos (x) \cos (x)) + 5 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ heraus.

$\frac{5 (\cos (x) \cos (x)) + 5 ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (\cos (x) \cos (x)) + 5 ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)))$ heraus.

$\frac{5 (\cos (x) \cos (x) + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.2

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 6.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{5 (\cos^{1} (x) \cos (x) + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{5 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 ({\cos (x)}^{1 + 1} + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 (\cos^{2} (x) + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.3

Multipliziere $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (\cos^{2} (x) + 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{5 (\cos^{2} (x) + 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.4.1.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{5 (\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.4.1.3

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{5 (\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.4.1.4

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 6.4.1.4.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{5 (\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.4.1.4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{5 (\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.4.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 (\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1})}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.4.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 (\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.4.2

Addiere $\sin (x)$ und $\sin (x)$ .

$\frac{5 (\cos^{2} (x) + 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.5

Schreibe $\cos^{2} (x) + 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 6.5.1

Gruppiere die Terme um.

$\frac{5 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + 1 + 2 \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.5.2

Ordne Terme um.

$\frac{5 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 1 + 2 \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.5.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{5 (1 + 1 + 2 \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 (2 + 2 \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.5.5

Faktorisiere $2$ aus $2 + 2 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 6.5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{5 (2 \cdot 1 + 2 \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.5.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 \sin (x)$ heraus.

$\frac{5 (2 (1 + \sin (x)))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

$\frac{5 \cdot 2 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \sin (x)$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10}{\cos (x)}$

Schritt 8

Separiere Brüche.

$\frac{10}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 9

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{10}{1} \sec (x)$

Schritt 10

Dividiere $10$ durch $1$ .

$10 \sec (x)$