Trigonometrie Beispiele

$\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x^{3} - 64}{2 x}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4^{2}} \cdot \frac{x^{3} - 64}{2 x}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{4 x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x^{3} - 64}{2 x}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$\frac{4 x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x^{3} - 4^{3}}{2 x}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{4 x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2})}{2 x}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{4 x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{(x - 4) (x^{2} + 4 \cdot x + 4^{2})}{2 x}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{4 x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{2 x}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kombinieren.

$\frac{4 x^{2} ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16))}{(x + 4) (x - 4) (2 x)}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2} ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16))$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2} ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)))}{(x + 4) (x - 4) (2 x)}$

Schritt 3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $(x + 4) (x - 4) (2 x)$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2} ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)))}{2 ((x + 4) (x - 4) (x))}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x^{2} ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)))}{2 ((x + 4) (x - 4) (x))}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{2} ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16))}{(x + 4) (x - 4) (x)}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2} ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16))$ heraus.

$\frac{x (2 x ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)))}{(x + 4) (x - 4) (x)}$

Schritt 3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $(x + 4) (x - 4) (x)$ heraus.

$\frac{x (2 x ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)))}{x ((x + 4) (x - 4))}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (2 x ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)))}{x ((x + 4) (x - 4))}$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16))}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16))}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x (x^{2} + 4 x + 16)}{x + 4}$