Trigonometrie Beispiele

${(2 \cos (x) - 2 \sin (x))}^{2} + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(2 \cos (x) - 2 \sin (x))}^{2}$ als $(2 \cos (x) - 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ um.

$(2 \cos (x) - 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(2 \cos (x) - 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Multipliziere $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Schritt 1.3.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.3.1.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.3.1.1.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.3.1.2

Stelle $2 \cos (x)$ und $- 2 \sin (x)$ um.

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.3.1.3

Füge Klammern hinzu.

$4 \cos^{2} (x) - 2 (\sin (x) (2 \cos (x))) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.3.1.4

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$4 \cos^{2} (x) - 2 (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.3.1.5

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.3.1.6

Füge Klammern hinzu.

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 (\sin (x) (2 \cos (x))) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.3.1.7

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.3.1.8

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.3.1.9

Multipliziere $- 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

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Schritt 1.3.1.9.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x) + 4 \sin (x) \sin (x) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.3.1.9.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.3.1.9.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.3.1.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x) + 4 {\sin (x)}^{1 + 1} + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.3.1.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $2 \sin (2 x)$ von $- 2 \sin (2 x)$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.4

Bewege $4 \sin^{2} (x)$ .

$4 \cos^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 \cos^{2} (x)$ heraus.

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 \sin^{2} (x)$ heraus.

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x)) - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x))$ heraus.

$4 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.8

Ordne Terme um.

$4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.9

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$4 \cdot 1 - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

Schritt 2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$ .

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Schritt 2.1

Addiere $- 4 \sin (2 x)$ und $4 \sin (2 x)$ .

$4 + 0$

Schritt 2.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$