Trigonometrie Beispiele

${(3 (\cos (20) + i \sin (20)))}^{4}$

Schritt 1

Wende das Distributivgesetz an.

${(3 \cos (20) + 3 (i \sin (20)))}^{4}$

Schritt 2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(3 \cos (20))}^{4} + 4 {(3 \cos (20))}^{3} (3 i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $3 \cos (20)$ an.

$3^{4} \cos^{4} (20) + 4 {(3 \cos (20))}^{3} (3 i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 {(3 \cos (20))}^{3} (3 i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.3

Wende die Produktregel auf $3 \cos (20)$ an.

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3^{3} \cos^{3} (20)) (3 i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $3^{3}$ mit $3$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.4.1

Bewege $3$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3 \cdot 3^{3} \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3^{3}$ .

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Schritt 3.1.4.2.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3^{1} \cdot 3^{3} \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3^{1 + 3} \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.4.3

Addiere $1$ und $3$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3^{4} \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.5

Potenziere $3$ mit $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 (81 \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $81$ mit $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.7

Wende die Produktregel auf $3 \cos (20)$ an.

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 6 (3^{2} \cos^{2} (20)) {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 6 (9 \cos^{2} (20)) {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.9

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.10

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.10.1

Wende die Produktregel auf $3 i \sin (20)$ an.

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) ({(3 i)}^{2} \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.10.2

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) (3^{2} i^{2} \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.11

Potenziere $3$ mit $2$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) (9 i^{2} \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.12

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) (9 \cdot - 1 \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.13

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) (- 9 \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.14

Mutltipliziere $- 9$ mit $54$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.15

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.16

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.16.1

Wende die Produktregel auf $3 i \sin (20)$ an.

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) ({(3 i)}^{3} \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.16.2

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (3^{3} i^{3} \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.17

Potenziere $3$ mit $3$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (27 i^{3} \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.18

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (27 (i^{2} \cdot i) \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.19

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (27 (- 1 \cdot i) \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.20

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (27 (- i) \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (- 27 i \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.22

Mutltipliziere $- 27$ mit $12$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) (i \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Schritt 3.1.23

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.23.1

Wende die Produktregel auf $3 i \sin (20)$ an.

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + {(3 i)}^{4} \sin^{4} (20)$

Schritt 3.1.23.2

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 3^{4} i^{4} \sin^{4} (20)$

Schritt 3.1.24

Potenziere $3$ mit $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 i^{4} \sin^{4} (20)$

Schritt 3.1.25

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 3.1.25.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 {(i^{2})}^{2} \sin^{4} (20)$

Schritt 3.1.25.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 {(- 1)}^{2} \sin^{4} (20)$

Schritt 3.1.25.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 \cdot 1 \sin^{4} (20)$

Schritt 3.1.26

Mutltipliziere $81$ mit $1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 \sin^{4} (20)$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Stelle die Faktoren in $81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 \sin^{4} (20)$ um.

$81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 i \cos (20) \sin^{3} (20) + 81 \sin^{4} (20)$

Schritt 3.2.2

Stelle $81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20)$ und $- 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20)$ um.

$- 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20) - 324 i \cos (20) \sin^{3} (20) + 81 \sin^{4} (20)$

Schritt 3.2.3

Stelle $- 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20) - 324 i \cos (20) \sin^{3} (20)$ und $81 \sin^{4} (20)$ um.

$81 \sin^{4} (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20) - 324 i \cos (20) \sin^{3} (20)$