Trigonometrie Beispiele

${(5 - i)}^{6}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$5^{6} + 6 \cdot 5^{5} (- i) + 15 \cdot 5^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 5^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Potenziere $5$ mit $6$ .

$15625 + 6 \cdot 5^{5} (- i) + 15 \cdot 5^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 5^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $5$ mit $5$ .

$15625 + 6 \cdot 3125 (- i) + 15 \cdot 5^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 5^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $3125$ .

$15625 + 18750 (- i) + 15 \cdot 5^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 5^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $18750$ .

$15625 - 18750 i + 15 \cdot 5^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 5^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.5

Potenziere $5$ mit $4$ .

$15625 - 18750 i + 15 \cdot 625 {(- i)}^{2} + 20 \cdot 5^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $15$ mit $625$ .

$15625 - 18750 i + 9375 {(- i)}^{2} + 20 \cdot 5^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.7

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$15625 - 18750 i + 9375 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 20 \cdot 5^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$15625 - 18750 i + 9375 (1 i^{2}) + 20 \cdot 5^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$15625 - 18750 i + 9375 i^{2} + 20 \cdot 5^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.10

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$15625 - 18750 i + 9375 \cdot - 1 + 20 \cdot 5^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.11

Mutltipliziere $9375$ mit $- 1$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 20 \cdot 5^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.12

Potenziere $5$ mit $3$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 20 \cdot 125 {(- i)}^{3} + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.13

Mutltipliziere $20$ mit $125$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 {(- i)}^{3} + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.14

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.15

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 (- i^{3}) + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.16

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 (- (i^{2} \cdot i)) + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.17

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 (- (- 1 \cdot i)) + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.18

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 (- - i) + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 (1 i) + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.20

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 15 \cdot 5^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.21

Potenziere $5$ mit $2$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 15 \cdot 25 {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.22

Mutltipliziere $15$ mit $25$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 {(- i)}^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.23

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.24

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 (1 i^{4}) + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.25

Mutltipliziere $i^{4}$ mit $1$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 i^{4} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.26

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.26.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 {(i^{2})}^{2} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.26.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.26.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 \cdot 1 + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.27

Mutltipliziere $375$ mit $1$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 + 6 \cdot 5 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.28

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 + 30 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.29

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 + 30 ({(- 1)}^{5} i^{5}) + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.30

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 + 30 (- i^{5}) + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.31

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 + 30 (- (i^{4} i)) + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.32

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.32.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 + 30 (- ({(i^{2})}^{2} i)) + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.32.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 + 30 (- ({(- 1)}^{2} i)) + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.32.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 + 30 (- (1 i)) + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.33

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 + 30 (- i) + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.34

Mutltipliziere $- 1$ mit $30$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 - 30 i + {(- i)}^{6}$

Schritt 2.1.35

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 - 30 i + {(- 1)}^{6} i^{6}$

Schritt 2.1.36

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 - 30 i + 1 i^{6}$

Schritt 2.1.37

Mutltipliziere $i^{6}$ mit $1$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 - 30 i + i^{6}$

Schritt 2.1.38

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 - 30 i + i^{4} i^{2}$

Schritt 2.1.39

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.39.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 - 30 i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

Schritt 2.1.39.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 - 30 i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

Schritt 2.1.39.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 - 30 i + 1 i^{2}$

Schritt 2.1.40

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 - 30 i + i^{2}$

Schritt 2.1.41

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$15625 - 18750 i - 9375 + 2500 i + 375 - 30 i - 1$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $9375$ von $15625$ .

$6250 - 18750 i + 2500 i + 375 - 30 i - 1$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $6250$ und $375$ .

$6625 - 18750 i + 2500 i - 30 i - 1$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $6625$ .

$6624 - 18750 i + 2500 i - 30 i$

Schritt 2.2.3

Addiere $- 18750 i$ und $2500 i$ .

$6624 - 16250 i - 30 i$

Schritt 2.2.4

Subtrahiere $30 i$ von $- 16250 i$ .

$6624 - 16280 i$