Trigonometrie Beispiele

$\frac{4 x^{2} - 13 x + 10}{24 x^{2} - 30 x} \cdot \frac{4 x^{2} + 8 x}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 10 = 40$ und deren Summe gleich $b = - 13$ ist.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $- 13$ aus $- 13 x$ heraus.

$\frac{4 x^{2} - 13 (x) + 10}{24 x^{2} - 30 x} \cdot \frac{4 x^{2} + 8 x}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $- 13$ um als $- 5$ plus $- 8$

$\frac{4 x^{2} + (- 5 - 8) x + 10}{24 x^{2} - 30 x} \cdot \frac{4 x^{2} + 8 x}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} - 5 x - 8 x + 10}{24 x^{2} - 30 x} \cdot \frac{4 x^{2} + 8 x}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(4 x^{2} - 5 x) - 8 x + 10}{24 x^{2} - 30 x} \cdot \frac{4 x^{2} + 8 x}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (4 x - 5) - 2 (4 x - 5)}{24 x^{2} - 30 x} \cdot \frac{4 x^{2} + 8 x}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 5$ .

$\frac{(4 x - 5) (x - 2)}{24 x^{2} - 30 x} \cdot \frac{4 x^{2} + 8 x}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $6 x$ aus $24 x^{2} - 30 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $6 x$ aus $24 x^{2}$ heraus.

$\frac{(4 x - 5) (x - 2)}{6 x (4 x) - 30 x} \cdot \frac{4 x^{2} + 8 x}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $6 x$ aus $- 30 x$ heraus.

$\frac{(4 x - 5) (x - 2)}{6 x (4 x) + 6 x (- 5)} \cdot \frac{4 x^{2} + 8 x}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (4 x) + 6 x (- 5)$ heraus.

$\frac{(4 x - 5) (x - 2)}{6 x (4 x - 5)} \cdot \frac{4 x^{2} + 8 x}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{2} + 8 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{(4 x - 5) (x - 2)}{6 x (4 x - 5)} \cdot \frac{4 x (x) + 8 x}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $4 x$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{(4 x - 5) (x - 2)}{6 x (4 x - 5)} \cdot \frac{4 x (x) + 4 x (2)}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x) + 4 x (2)$ heraus.

$\frac{(4 x - 5) (x - 2)}{6 x (4 x - 5)} \cdot \frac{4 x (x + 2)}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 8$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{(4 x - 5) (x - 2)}{6 x (4 x - 5)} \cdot \frac{4 x (x + 2)}{2 (x^{2}) - 8}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{(4 x - 5) (x - 2)}{6 x (4 x - 5)} \cdot \frac{4 x (x + 2)}{2 x^{2} + 2 \cdot - 4}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{(4 x - 5) (x - 2)}{6 x (4 x - 5)} \cdot \frac{4 x (x + 2)}{2 (x^{2} - 4)}$

Schritt 3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(4 x - 5) (x - 2)}{6 x (4 x - 5)} \cdot \frac{4 x (x + 2)}{2 (x^{2} - 2^{2})}$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(4 x - 5) (x - 2)}{6 x (4 x - 5)} \cdot \frac{4 x (x + 2)}{2 (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(4 x - 5) (x - 2)$ heraus.

$\frac{(x - 2) (4 x - 5)}{6 x (4 x - 5)} \cdot \frac{4 x (x + 2)}{2 (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $x - 2$ aus $2 (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$\frac{(x - 2) (4 x - 5)}{6 x (4 x - 5)} \cdot \frac{4 x (x + 2)}{(x - 2) (2 (x + 2))}$

Schritt 4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 2) (4 x - 5)}{6 x (4 x - 5)} \cdot \frac{4 x (x + 2)}{(x - 2) (2 (x + 2))}$

Schritt 4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x - 5}{6 x (4 x - 5)} \cdot \frac{4 x (x + 2)}{2 (x + 2)}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2 x$ aus $6 x (4 x - 5)$ heraus.

$\frac{4 x - 5}{2 x (3 (4 x - 5))} \cdot \frac{4 x (x + 2)}{2 (x + 2)}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x (x + 2)$ heraus.

$\frac{4 x - 5}{2 x (3 (4 x - 5))} \cdot \frac{2 x (2 (x + 2))}{2 (x + 2)}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x - 5}{2 x (3 (4 x - 5))} \cdot \frac{2 x (2 (x + 2))}{2 (x + 2)}$

Schritt 4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x - 5}{3 (4 x - 5)} \cdot \frac{2 (x + 2)}{2 (x + 2)}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{4 x - 5}{3 (4 x - 5)}$ mit $\frac{2 (x + 2)}{2 (x + 2)}$ .

$\frac{(4 x - 5) (2 (x + 2))}{3 (4 x - 5) (2 (x + 2))}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{(4 x - 5) (2 (x + 2))}{6 (4 x - 5) (x + 2)}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 x - 5$ .

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Schritt 4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(4 x - 5) (2 (x + 2))}{6 (4 x - 5) (x + 2)}$

Schritt 4.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (x + 2)}{6 (x + 2)}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $6 (x + 2)$ heraus.

$\frac{2 (x + 2)}{2 (3 (x + 2))}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x + 2)}{2 (3 (x + 2))}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 2}{3 (x + 2)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 2}{3 (x + 2)}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{3}$