Trigonometrie Beispiele

${(- 1 - 2 i)}^{6}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(- 1)}^{6} + 6 {(- 1)}^{5} (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$1 + 6 {(- 1)}^{5} (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$1 + 6 \cdot - 1 (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$1 - 6 (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$1 + 12 i + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.5

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 + 12 i + 15 \cdot 1 {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$1 + 12 i + 15 {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.7

Wende die Produktregel auf $- 2 i$ an.

$1 + 12 i + 15 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.8

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$1 + 12 i + 15 (4 i^{2}) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.9

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 12 i + 15 (4 \cdot - 1) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.10

Multipliziere $15 (4 \cdot - 1)$ .

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Schritt 2.1.10.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$1 + 12 i + 15 \cdot - 4 + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.10.2

Mutltipliziere $15$ mit $- 4$ .

$1 + 12 i - 60 + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.11

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 + 12 i - 60 + 20 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.12

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.13

Wende die Produktregel auf $- 2 i$ an.

$1 + 12 i - 60 - 20 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.14

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 i^{3}) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.15

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.16

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.17

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (- i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (8 i) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.19

Mutltipliziere $8$ mit $- 20$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.20

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 \cdot 1 {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.21

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.22

Wende die Produktregel auf $- 2 i$ an.

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 ({(- 2)}^{4} i^{4}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.23

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 i^{4}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.24

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.24.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 {(i^{2})}^{2}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.24.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 {(- 1)}^{2}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.24.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 \cdot 1) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.25

Multipliziere $15 (16 \cdot 1)$ .

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Schritt 2.1.25.1

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 \cdot 16 + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.25.2

Mutltipliziere $15$ mit $16$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.26

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.27

Wende die Produktregel auf $- 2 i$ an.

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 ({(- 2)}^{5} i^{5}) + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.28

Potenziere $- 2$ mit $5$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 i^{5}) + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.29

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 (i^{4} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.30

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.30.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 ({(i^{2})}^{2} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.30.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 ({(- 1)}^{2} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.30.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 (1 i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.31

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 i) + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.32

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 6$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + {(- 2 i)}^{6}$

Schritt 2.1.33

Wende die Produktregel auf $- 2 i$ an.

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + {(- 2)}^{6} i^{6}$

Schritt 2.1.34

Potenziere $- 2$ mit $6$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 i^{6}$

Schritt 2.1.35

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 (i^{4} i^{2})$

Schritt 2.1.36

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.36.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 ({(i^{2})}^{2} i^{2})$

Schritt 2.1.36.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 ({(- 1)}^{2} i^{2})$

Schritt 2.1.36.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 (1 i^{2})$

Schritt 2.1.37

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 i^{2}$

Schritt 2.1.38

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 \cdot - 1$

Schritt 2.1.39

Mutltipliziere $64$ mit $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i - 64$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $60$ von $1$ .

$- 59 + 12 i - 160 i + 240 + 192 i - 64$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $- 59$ und $240$ .

$181 + 12 i - 160 i + 192 i - 64$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $64$ von $181$ .

$117 + 12 i - 160 i + 192 i$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $160 i$ von $12 i$ .

$117 - 148 i + 192 i$

Schritt 2.2.4

Addiere $- 148 i$ und $192 i$ .

$117 + 44 i$