Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sec^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sec (x)$ und $b = \cos (x)$ .

$\frac{(\sec (x) + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Multipliziere $(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Schritt 5.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x))$ und $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ neu an.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5.1.2

Addiere $- \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ und $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + 0 + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5.1.3

Addiere $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ und $0$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5.2.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5.2.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos (x) \cos (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5.2.3

Multipliziere $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 5.2.3.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5.2.3.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - {\cos (x)}^{1 + 1}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5.3.2

Kombinieren.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 6

Multipliziere $- \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ und $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 6.2

Multipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{{\cos (x)}^{2 + 2}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 9

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 10

Schreibe $\frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$ als ${(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - {(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 11

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{1}{\sin (x)}$ und $b = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Schritt 12

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$(\csc (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Schritt 12.1.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$(\csc (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Schritt 12.1.3

Separiere Brüche.

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Schritt 12.1.4

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cot (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Schritt 12.1.5

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Schritt 12.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 13

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 14

Vereinfache Terme.

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Schritt 14.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin^{2} (x)$ und $\sin (x)$ .

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Schritt 14.1.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 14.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Schritt 14.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Schritt 14.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x)}{1}$

Schritt 14.1.2.4

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \sin (x)$

Schritt 14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\csc (x) \sin (x) + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$

Schritt 15

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.1

Schreibe $\csc (x) \sin (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$

Schritt 15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$1 + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$