Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cot^{2} (x)}{1 - \sin^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 1

Faktorisiere $1$ aus $\frac{\cot^{2} (x)}{1 - \sin^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $1$ aus $\frac{\cot^{2} (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$ heraus.

$1 \frac{\cot^{2} (x)}{1 - \sin^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $1$ aus $\frac{\tan^{2} (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$ heraus.

$1 \frac{\cot^{2} (x)}{1 - \sin^{2} (x)} + 1 \frac{\tan^{2} (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $1$ aus $1 \frac{\cot^{2} (x)}{1 - \sin^{2} (x)} + 1 \frac{\tan^{2} (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$ heraus.

$1 (\frac{\cot^{2} (x)}{1 - \sin^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{1 - \cos^{2} (x)})$

Schritt 2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 (\frac{\cot^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{1 - \cos^{2} (x)})$

Schritt 3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 (\frac{\cot^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{\cot^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ mit $1$ .

$\frac{\cot^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\frac{\cot^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{\cot (x)}{\cos (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{\cot (x)}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.3

Schreibe $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\cos (x)}$ als ein Produkt um.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.7

Schreibe $\frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ als ${(\frac{\tan (x)}{\sin (x)})}^{2}$ um.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\tan (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 4.2.8

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 4.2.9

Schreibe $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ als ein Produkt um.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 4.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 4.2.10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 4.2.11

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.2.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.3.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.3.3

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\csc^{2} (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.3.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\csc^{2} (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.3.5

Schreibe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ um.

$\csc^{2} (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 4.3.6

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\csc^{2} (x) + \sec^{2} (x)$