Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $\sec^{4} (x)$ als ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ um.

$\frac{{(\sec^{2} (x))}^{2} - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.2

Schreibe $\tan^{4} (x)$ als ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ um.

$\frac{{(\sec^{2} (x))}^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2}}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sec^{2} (x)$ und $b = \tan^{2} (x)$ .

$\frac{(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sec (x)$ und $b = \tan (x)$ .

$\frac{(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Schritt 2.2

Dividiere $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ durch $1$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Schritt 3

Multipliziere $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Schritt 4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\sec (x) (- \tan (x))$ und $\tan (x) \sec (x)$ neu an.

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Schritt 4.1.2

Addiere $- \sec (x) \tan (x)$ und $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x))$

Schritt 4.1.3

Addiere $\sec (x) \sec (x)$ und $0$ .

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $\sec (x) \sec (x)$ .

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Schritt 4.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x))$

Schritt 4.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Schritt 4.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x)$

Schritt 4.2.3

Multipliziere $- \tan (x) \tan (x)$ .

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Schritt 4.2.3.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x))$

Schritt 4.2.3.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

Schritt 4.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1}$

Schritt 4.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1$