Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin^{2} (x) - \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sin (x)$ und $b = \tan (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \tan (x)) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{(\sin (x) \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ heraus.

$\frac{(\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ heraus.

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ heraus.

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Schritt 1.2.4.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2.4.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ heraus.

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)}))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2.4.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})$ heraus.

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) (1 - \frac{1}{\cos (x)}))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) \sin (x) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.2.5.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2.5.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \sin^{2} (x)}$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin^{2} (x)}$

Schritt 3

Kombiniere $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ und $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 4

Multipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\frac{{\sin (x)}^{2 + 2}}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 4.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin^{2} (x)$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus $\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})$ heraus.

$\sin^{2} (x) ((1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus $\sin^{4} (x)$ heraus.

$\sin^{2} (x) ((1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin^{2} (x) ((1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 6.4

Forme den Ausdruck um.

$(1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7

Multipliziere $(1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 (1 - \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos (x)} (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos (x)} (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$(1 + 1 (- \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $- \frac{1}{\cos (x)}$ mit $1$ .

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $1$ .

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.1.5

Multipliziere $- \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Schritt 8.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.1.5.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.1.5.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.2

Addiere $- \frac{1}{\cos (x)}$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(1 + 0 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.3

Addiere $1$ und $0$ .

$(1 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 9

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 9.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ in den Zähler.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 9.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - 1 \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 9.4

Schreibe $- 1 \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ als $- \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ um.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 9.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 9.6

Stelle $\cos^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 9.7

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 9.8

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 9.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 9.10

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ als $- (1 - \cos^{2} (x))$ um.

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 10

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin^{2} (x)$ .

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 11.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$