Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 2

Schreibe $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $b = \frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$(\tan (x) + \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 4.1.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$(\tan (x) + \sec (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 4.2.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Schritt 5

Multipliziere $(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) (\tan (x) - \sec (x)) + \sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$ .

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Schritt 6.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\tan (x) (- \sec (x))$ und $\sec (x) \tan (x)$ neu an.

$\tan (x) \tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Schritt 6.1.2

Addiere $- \sec (x) \tan (x)$ und $\sec (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sec (x) (- \sec (x))$

Schritt 6.1.3

Addiere $\tan (x) \tan (x)$ und $0$ .

$\tan (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere $\tan (x) \tan (x)$ .

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Schritt 6.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sec (x) (- \sec (x))$

Schritt 6.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan^{2} (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Schritt 6.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\tan^{2} (x) - \sec (x) \sec (x)$

Schritt 6.2.3

Multipliziere $- \sec (x) \sec (x)$ .

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Schritt 6.2.3.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x))$

Schritt 6.2.3.2

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))$

Schritt 6.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan^{2} (x) - {\sec (x)}^{1 + 1}$

Schritt 6.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

Schritt 6.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 6.3.1

Stelle $\tan^{2} (x)$ und $- \sec^{2} (x)$ um.

$- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec^{2} (x)$ heraus.

$- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x)$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $\tan^{2} (x)$ heraus.

$- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$

Schritt 6.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ heraus.

$- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Schritt 7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$